El concepto de matriz
El concepto de matriz
En la distribuidora del Cibao todo el inventario cabe en una tabla: las filas son las sucursales (Santiago, Moca) y las columnas son los productos (arroz, aceite). Cada celda guarda una cantidad. Esa tabla ordenada de numeros es una matriz.
Lo importante no es solo el numero, sino DONDE esta. La entrada a₂₃ es la de la fila 2, columna 3: primero la fila, despues la columna, siempre en ese orden. La dimension de la matriz es filas × columnas: un tablero de 2 sucursales por 2 productos es una matriz 2×2.
En el simulador editaras el tablero y veras el almacen obedecer; en la mision deberas localizar la entrada pedida y reportar la dimension, con los rotulos de posicion tapados.
El tablero del almacen
Lo que el tablero te estaba mostrando
1) Una matriz es una tabla ordenada de numeros. Filas horizontales, columnas verticales. El inventario, las notas de un curso, los pixeles de una foto: si cabe en una tabla, es una matriz.
2) La posicion tiene orden: fila primero, columna despues. a₂₁ (fila 2, columna 1) NO es lo mismo que a₁₂ (fila 1, columna 2). El subindice se lee como una direccion del almacen.
3) La dimension es filas x columnas. Una matriz de 2 filas y 2 columnas es 2x2; una de 3 filas y 4 columnas es 3x4. La dimension NO es el total de celdas.
- Cuenta filas: cuantas hileras horizontales hay.
- Cuenta columnas: cuantas hileras verticales hay.
- Dimension: escribela filas x columnas (en ese orden).
- Localiza a sub i j: baja a la fila i, corre a la columna j, lee el numero.
| Lo que piden | Como se lee | En A=[[5,8],[3,6]] |
|---|---|---|
| a₁₁ | fila 1, columna 1 | 5 |
| a₁₂ | fila 1, columna 2 | 8 |
| a₂₁ | fila 2, columna 1 | 3 |
| Dimension | filas x columnas | 2x2 |
Error a evitar: invertir fila y columna. a₂₁ es fila 2 columna 1 (vale 3), NO fila 1 columna 2. Y la dimension de una 2x2 es "2x2", no "4": 4 es el numero de celdas, no la dimension.
El origen. La palabra "matriz" (del latin matrix, "molde, origen") la acuno el matematico ingles James Joseph Sylvester en 1850, pensando en la tabla como el molde del que salen los determinantes. Su amigo Arthur Cayley formalizo en 1858 las matrices como objetos con sus propias operaciones. Pero las tablas de numeros para resolver problemas son mucho mas antiguas: el texto chino Los nueve capitulos del arte matematico (siglo II a.C.) ya ordenaba los coeficientes de sistemas de ecuaciones en columnas.
Quien las usa hoy y para que. Las matrices son la tabla universal de la computacion:
- 📷Imagenes digitales. Cada foto es una matriz de pixeles; aplicar un filtro es operar sobre esa matriz entrada por entrada.
- 📊Hojas de calculo e inventarios. Toda hoja de Excel es una matriz: filas, columnas y la entrada en su cruce, igual que el tablero del almacen.
- 🤖Inteligencia artificial. Las redes neuronales guardan lo que "saben" en enormes matrices de numeros que se multiplican millones de veces por segundo.
- 🎮Videojuegos y graficos 3D. Mover, rotar y escalar objetos en pantalla son multiplicaciones de matrices que hace la tarjeta grafica.
Ejemplo 1 — Localizar una entrada
En A = [[5,8],[3,6]], cuanto vale a₂₁?
- a₂₁ es fila 2, columna 1 (fila primero).
- Bajo a la fila 2: [3, 6]. Corro a la columna 1.
- a₂₁ = 3.
Ejemplo 2 — Reportar la dimension
Una tabla con 3 sucursales y 4 productos. Que dimension tiene?
- Filas = sucursales = 3.
- Columnas = productos = 4.
- Dimension = filas x columnas = 3x4 (no 4x3 ni 12).
Ejemplo 3 — De dato a posicion
En A = [[5,8],[3,6]], en que posicion esta el 8?
- Busco el 8: esta en la primera hilera.
- Fila 1, segunda columna.
- Es la entrada a₁₂.
Ejemplo 4 — El inventario real
Filas: Santiago, Moca. Columnas: arroz, aceite. A = [[5,8],[3,6]]. Cuanto aceite hay en Moca?
- Moca = fila 2. Aceite = columna 2.
- Quiero a₂₂: fila 2, columna 2.
- a₂₂ = 6 unidades de aceite en Moca.
Ejemplo 5 — Filas y columnas no se confunden
a₂₁ y a₁₂ valen lo mismo en A = [[5,8],[3,6]]?
- a₂₁ = fila 2, columna 1 = 3.
- a₁₂ = fila 1, columna 2 = 8.
- 3 distinto de 8: el orden fila-columna importa.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Adicion de matrices
Adicion de matrices
La distribuidora cuenta el inventario cada semana. La semana 1 es un tablero 2x2 y la semana 2 es otro tablero 2x2. Para saber el acumulado, se suman celda con celda: el arroz de Santiago de la semana 1 con el arroz de Santiago de la semana 2, y asi cada posicion con su pareja.
Esa es toda la regla de la suma de matrices: si tienen la misma dimension, se suman entrada a entrada. La entrada (i,j) del resultado es la (i,j) de A mas la (i,j) de B. La resta es igual (mercancia despachada): entrada a entrada, restando. Y si las dimensiones no coinciden, no hay suma: faltan parejas.
En el simulador fundiras dos semanas y veras el acumulado iluminarse; en la mision deberas calcular una celda con la fusion tapada.
Las dos semanas
Lo que la fusion te estaba mostrando
1) Entrada a entrada, misma posicion. La celda (i,j) del resultado es la (i,j) de A operada con la (i,j) de B. Nunca se cruzan posiciones ni se mezclan filas con columnas.
2) Misma dimension o no hay suma. Una 2x2 con una 2x2 si; una 2x2 con una 3x2 no: hay celdas sin pareja. La forma manda.
3) Sumar acumula, restar despacha. La suma junta el inventario de varias semanas; la resta quita lo despachado. Una entrada del resultado puede salir negativa: significa que se despacho mas de lo que habia contado.
- Verifica dimensiones: A y B deben ser de la misma dimension.
- Empareja posiciones: a11 con b11, a12 con b12, y asi cada celda.
- Opera entrada a entrada: suma o resta cada pareja, sin cruzarlas.
- Arma el resultado: cada total va en su misma posicion (i,j).
| Celda | Suma A+B | Resta A-B |
|---|---|---|
| (1,1) | 4 + 1 = 5 | 4 - 1 = 3 |
| (1,2) | 3 + 6 = 9 | 3 - 6 = −3 |
| (2,1) | 2 + 3 = 5 | 2 - 3 = −1 |
| (2,2) | 5 + 2 = 7 | 5 - 2 = 3 |
Error a evitar: sumar matrices de distinta dimension (no hay parejas) o multiplicar las entradas en vez de sumarlas. La suma de matrices NO multiplica: (A+B)₁₁ = a₁₁ + b₁₁, no a₁₁ por b₁₁.
El origen. La suma de matrices nacio cuando Arthur Cayley (1858) decidio tratar las tablas de numeros como objetos con su propia aritmetica, igual que los numeros. La idea era natural: si una tabla guarda datos, sumar dos tablas debe juntar los datos posicion por posicion. Esa definicion "obvia" resulto ser exactamente la que hace que las matrices se comporten bien (son conmutativas y asociativas en la suma, como los numeros de toda la vida).
Quien la usa hoy y para que. Sumar matrices es la operacion mas comun del computo numerico:
- 📷Edicion de imagenes. Aclarar una foto o combinar dos capas es sumar (o restar) sus matrices de pixeles, celda por celda.
- 📒Contabilidad e inventarios. Consolidar ventas de varias sucursales o varios meses es sumar tablas con la misma estructura.
- 🧠Inteligencia artificial. Cada paso de entrenamiento ajusta los pesos sumandoles una matriz de correcciones.
- 📡Senales y sonido. Mezclar dos pistas de audio o dos senales es sumar sus muestras: la misma idea, entrada a entrada.
Ejemplo 1 — Una celda del acumulado
A = [[4,3],[2,5]], B = [[1,6],[3,2]]. Cuanto vale (A+B)₁₂?
- Misma posicion: a₁₂ = 3, b₁₂ = 6.
- Sumo entrada a entrada: 3 + 6.
- (A+B)₁₂ = 9.
Ejemplo 2 — La suma completa
Suma A = [[4,3],[2,5]] y B = [[1,6],[3,2]].
- (1,1): 4+1=5. (1,2): 3+6=9.
- (2,1): 2+3=5. (2,2): 5+2=7.
- A+B = [[5,9],[5,7]].
Ejemplo 3 — Resta con resultado negativo
Con las mismas A y B, cuanto vale (A-B)₁₂?
- a₁₂ = 3, b₁₂ = 6.
- Resto: 3 - 6.
- (A-B)₁₂ = −3: se despacho mas de lo contado.
Ejemplo 4 — Cuanto repuso la semana 2
El acumulado en (2,1) es 5 y la semana 1 puso 2. Cuanto repuso la semana 2 en esa celda?
- Acumulado = semana1 + semana2 en esa celda: 5 = 2 + b₂₁.
- Despejo: b₂₁ = 5 - 2.
- La semana 2 repuso 3 en (2,1).
Ejemplo 5 — Cuando NO se pueden sumar
Se puede sumar una matriz 2x2 con una 3x2?
- Comparo dimensiones: 2x2 vs 3x2.
- No coinciden: la 3x2 tiene una fila extra sin pareja.
- No hay suma: faltan parejas para esa fila.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Multiplicacion por un escalar
Multiplicacion por un escalar
La distribuidora tiene su pizarra de precios como una matriz 2x2. Cuando llega un ajuste que afecta a TODO el catalogo (aplicar el ITBIS del 18%, duplicar un pedido, liquidar a mitad de precio), no se cambia precio por precio: se mueve una sola palanca, el escalar k, y todas las celdas se multiplican por k a la vez.
Eso es la multiplicacion por un escalar: k·A multiplica cada entrada de A por k. La entrada (i,j) del resultado es k·aₕₖ. Si k = 2 todo se duplica; si k = 0.5 todo se liquida a la mitad; si k = 1.18 todo sube un 18% (el ITBIS). La dimension no cambia: solo cambian los numeros.
En el simulador moveras la palanca k y veras la cascada recorrer la pizarra; en la mision deberas calcular una celda tras el ajuste, con la cascada tapada.
El ajuste general
Lo que la cascada te estaba mostrando
1) El escalar multiplica TODAS las entradas. No solo una: k·A toca cada celda. Olvidar una celda es el error mas comun del ajuste.
2) Multiplica, no suma. Aplicar el ITBIS NO es sumar 18 a cada precio: es multiplicar por 1.18. Duplicar es multiplicar por 2, no sumar 2.
3) Dos ajustes seguidos = un solo escalar (su producto). Aplicar k₁ y luego k₂ equivale a multiplicar por k₁·k₂. Subir 10% (1.1) y luego liquidar a mitad (0.5) es multiplicar por 0.55, no por 1.6.
- Identifica k: el numero que ajusta todo el catalogo.
- Multiplica cada entrada: recorre las 4 celdas, k por cada una.
- Coloca cada resultado en su posicion (i,j): la dimension no cambia.
- Si hay dos ajustes: multiplica los escalares primero (k₁·k₂) y luego aplica.
| Celda de A | k = 2 (duplicar) | k = 3 (triplicar) |
|---|---|---|
| a₁₁ = 2 | 2 × 2 = 4 | 3 × 2 = 6 |
| a₁₂ = 5 | 2 × 5 = 10 | 3 × 5 = 15 |
| a₂₁ = 4 | 2 × 4 = 8 | 3 × 4 = 12 |
| a₂₂ = 3 | 2 × 3 = 6 | 3 × 3 = 9 |
Error a evitar: sumar k a cada entrada en vez de multiplicar (k=2 no es "+2": a11=2 da 4, no 4 por casualidad; a12=5 da 10, no 7). Y NO dejes ninguna celda sin ajustar: el escalar toca TODAS.
El origen. La idea de multiplicar toda una coleccion de numeros por un mismo factor es tan vieja como el comercio: aplicar un impuesto, un interes o un cambio de moneda. Cuando Arthur Cayley definio el algebra de matrices a mediados del siglo XIX, la multiplicacion por escalar fue la operacion mas natural de todas, porque ya existia en los vectores que estudiaban Hamilton y Grassmann: estirar o encoger una flecha por un numero. La matriz heredo esa "palanca" celda por celda.
Quien la usa hoy y para que. El producto por escalar esta en cada ajuste masivo:
- 🧾Impuestos y descuentos. Aplicar el ITBIS (multiplicar por 1.18) o un 20% de descuento (por 0.8) a un catalogo entero es un solo escalar.
- 🔆Brillo de imagenes. Subir el brillo de una foto es multiplicar toda su matriz de pixeles por un escalar mayor que 1.
- 🔊Volumen del sonido. Subir o bajar el volumen es multiplicar la senal (un vector de muestras) por un escalar.
- 🎮Escalar objetos 3D. Agrandar o achicar un modelo en un videojuego es multiplicar sus coordenadas por un factor.
Ejemplo 1 — Una celda tras el ajuste
A = [[2,5],[4,3]], k = 2. Cuanto vale (k·A)₁₂?
- a₁₂ = 5.
- Multiplico por k = 2: 2 × 5.
- (k·A)₁₂ = 10.
Ejemplo 2 — El ajuste completo
Multiplica A = [[2,5],[4,3]] por k = 3.
- (1,1): 3×2=6. (1,2): 3×5=15.
- (2,1): 3×4=12. (2,2): 3×3=9.
- 3·A = [[6,15],[12,9]].
Ejemplo 3 — Multiplicar no es sumar
A = [[2,5],[4,3]], k = 2. Por que (k·A)₂₁ no es 6?
- Sumar 2 a a₂₁=4 daria 6, pero k MULTIPLICA.
- 2 × 4 = 8.
- (k·A)₂₁ = 8, no 6.
Ejemplo 4 — Dos ajustes encadenados
A los precios se les aplica k₁ = 2 y luego k₂ = 3. La celda a₂₂ = 3. Cuanto queda?
- Dos ajustes seguidos = escalar total k₁·k₂ = 2×3 = 6.
- Aplico a a₂₂=3: 6 × 3.
- Queda 18 (no 5: los escalares se multiplican, no se suman).
Ejemplo 5 — El ITBIS como escalar
Aplicar el ITBIS del 18% a toda la pizarra, que escalar es?
- Subir 18% = multiplicar por 1 + 0.18.
- Escalar k = 1.18.
- Un precio de 100 queda en 1.18 × 100 = 118.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Multiplicacion de matrices
Multiplicacion de matrices
Cada sucursal pidio ciertas cantidades de cada producto (matriz A: sucursal × producto) y cada producto tiene un precio (matriz B: producto × lista de precios). Para saber cuanto factura cada sucursal, no se suma: se cruza la fila de cantidades de la sucursal con la columna de precios.
Esa es la multiplicacion de matrices: la entrada (i,j) del producto A·B es la fila i de A multiplicada termino a termino contra la columna j de B, y luego sumada. Para 2×2: (A·B)₁₁ = a₁₁·b₁₁ + a₁₂·b₂₁. Y hay una condicion: A de m×n por B de n×p exige que el n coincida, y produce m×p.
En el simulador veras la fila girar y emparejarse con la columna; en la mision deberas calcular una entrada del producto con el emparejamiento tapado.
La facturacion
Lo que el cruce te estaba mostrando
1) Fila i contra columna j. Para la entrada (i,j) tomas la fila i de A y la columna j de B, multiplicas termino a termino y sumas. Nunca celda con celda (eso era la suma).
2) Las dimensiones deben encajar. A de m×n por B de n×p: el numero de columnas de A (n) debe igualar el de filas de B (n). El resultado es m×p. Si no encajan, no hay producto.
3) El producto NO conmuta. En general A·B no es B·A: facturar cantidades por precios no es lo mismo que precios por cantidades. El orden importa.
- Verifica dimensiones: columnas de A = filas de B (el n coincide).
- Elige la entrada (i,j): necesitas la fila i de A y la columna j de B.
- Cruza termino a termino: aₕ₁×b₁ₖ , aₕ₂×b₂ₖ .
- Suma los productos: esa suma es la entrada (i,j) del resultado.
| Entrada | Fila x Columna | Resultado |
|---|---|---|
| (1,1) | [2,3]·[5,1] = 2·5 + 3·1 | 13 |
| (1,2) | [2,3]·[2,3] = 2·2 + 3·3 | 13 |
| (2,1) | [1,4]·[5,1] = 1·5 + 4·1 | 9 |
| (2,2) | [1,4]·[2,3] = 1·2 + 4·3 | 14 |
Error a evitar: multiplicar entrada a entrada (como la suma) en vez de cruzar fila con columna. (A·B)₁₁ NO es a₁₁·b₁₁=10: es 2·5 + 3·1 = 13. Y recuerda: A·B no es B·A.
El origen. La regla "fila por columna" parece rara hasta que ves de donde viene: Arthur Cayley la definio en 1858 precisamente para que multiplicar matrices significara componer transformaciones. Si A mueve los puntos del plano de una forma y B de otra, entonces A·B es "hacer B y luego A" de un solo golpe. Esa es la razon profunda de que el orden importe (A·B no es B·A): hacer dos cosas en distinto orden da resultados distintos.
Quien la usa hoy y para que. El producto de matrices es la operacion mas costosa y mas importante del computo:
- 🧠Inteligencia artificial. Cada capa de una red neuronal es un producto de matrices; ChatGPT hace miles de millones por respuesta.
- 🎮Graficos 3D. Rotar, mover y proyectar objetos en pantalla es multiplicar sus coordenadas por matrices de transformacion.
- 🔎Buscadores web. El algoritmo PageRank de Google ordena la web multiplicando una enorme matriz de enlaces una y otra vez.
- 🧾Negocios. Facturar cantidades por precios, combinar costos por insumos: el producto de matrices resume tablas enteras de cuentas.
Ejemplo 1 — Una entrada del producto
A = [[2,3],[1,4]], B = [[5,2],[1,3]]. Cuanto vale (A·B)₁₁?
- Fila 1 de A: [2,3]. Columna 1 de B: [5,1].
- Cruzo: 2·5 + 3·1 = 10 + 3.
- (A·B)₁₁ = 13.
Ejemplo 2 — Otra entrada
Con las mismas A y B, cuanto vale (A·B)₂₂?
- Fila 2 de A: [1,4]. Columna 2 de B: [2,3].
- 1·2 + 4·3 = 2 + 12.
- (A·B)₂₂ = 14.
Ejemplo 3 — No es entrada a entrada
Por que (A·B)₁₁ no es 2·5 = 10?
- El producto cruza la FILA entera con la COLUMNA entera.
- Falta el segundo termino: 3·1 = 3.
- 10 + 3 = 13: multiplicar entrada a entrada es el error de la suma.
Ejemplo 4 — La factura de Santiago
Santiago (fila 1) pidio [2,3] (arroz, aceite). Precios normales (columna 1): [5,1]. Cuanto factura a precio normal?
- 2 unidades de arroz a RD$5 = 10.
- 3 unidades de aceite a RD$1 = 3.
- Factura de Santiago = 10 + 3 = RD$13: es (A·B)₁₁.
Ejemplo 5 — Cuando NO se pueden multiplicar
Se puede A·B con A de 2x3 y B de 2x2?
- Columnas de A = 3; filas de B = 2.
- 3 distinto de 2: el n no coincide.
- No hay producto A·B (la cadena fila-columna se rompe).
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Matriz inversa
Matriz inversa
Imagina una maquina A que transforma cada pedido en un despacho. La maquina inversa, puesta en serie despues, devuelve exactamente el pedido original. En el lenguaje de las matrices, esa maquina inversa es A⁻¹ (A elevado a menos uno), y cumple: A · A⁻¹ = I.
La identidad I = [[1,0],[0,1]] es el "1" de las matrices: su diagonal de unos no cambia nada (deja el pedido tal cual). Asi como 5 × (1/5) = 1, una matriz por su inversa da I. Pero no toda matriz cuadrada tiene inversa: si la maquina aplasta informacion distinta en el mismo resultado (su determinante ad − bc = 0), no hay forma de deshacerla.
En el simulador pondras maquinas en serie y veras el producto desfilar hacia la identidad; en la mision deberas decidir cual candidata es la inversa, con el producto tapado.
La maquina de deshacer
Lo que la maquina te estaba mostrando
1) La inversa deshace. A⁻¹ es la unica matriz que, multiplicada por A, devuelve la identidad I. I es el "1" matricial: no cambia nada.
2) Para verificar, multiplica. Una candidata es la inversa solo si A por ella da [[1,0],[0,1]]. No se adivina intercambiando o negando al azar: se comprueba con el producto.
3) Si det A = ad − bc = 0, no hay inversa. Esa maquina aplasta informacion (dos entradas dan la misma salida) y no se puede deshacer. La inversa existe solo cuando el determinante no es cero.
- Calcula el determinante: det A = a·d − b·c. Si es 0, no hay inversa.
- Aplica la formula 2x2: A⁻¹ = (1/det)·[[d, −b],[−c, a]].
- Verifica multiplicando: A por la candidata debe dar [[1,0],[0,1]].
- Decide: la candidata que da I es la inversa; si det = 0, "no tiene inversa".
| Matriz A | det A | Inversa |
|---|---|---|
| [[2,1],[1,1]] | 2·1 − 1·1 = 1 | [[1,−1],[−1,2]] |
| [[3,2],[1,1]] | 3·1 − 2·1 = 1 | [[1,−2],[−1,3]] |
| [[1,1],[1,2]] | 1·2 − 1·1 = 1 | [[2,−1],[−1,1]] |
| [[2,4],[1,2]] | 2·2 − 4·1 = 0 | no tiene inversa |
Error a evitar: creer que toda matriz cuadrada tiene inversa, o "inventar" la inversa intercambiando/negando sin verificar. Si det A = 0 (como [[2,4],[1,2]]), NO hay inversa: la maquina no se puede deshacer.
El origen. La idea de "deshacer" una transformacion es tan antigua como resolver una ecuacion: para despejar x en 5x = 20 multiplicas por 1/5, el inverso de 5. Arthur Cayley y James Sylvester, en el siglo XIX, llevaron esa idea a las matrices: la inversa A⁻¹ permite "despejar" sistemas enteros de ecuaciones de un golpe, escribiendo A·X = B y luego X = A⁻¹·B. Y descubrieron lo decisivo: una matriz tiene inversa solo si su determinante no es cero.
Quien la usa hoy y para que. La inversa esta detras de toda "vuelta atras":
- 🔐Criptografia. Algunos cifrados multiplican el mensaje por una matriz; descifrar es multiplicar por su inversa.
- 📐Resolver sistemas. Ingenieria, economia y fisica resuelven sistemas de ecuaciones con X = A⁻¹·B.
- 🎮Graficos 3D. Si una matriz coloca la camara, su inversa lleva el mundo al punto de vista de la camara.
- 🤖Robotica. La "cinematica inversa" calcula, con matrices inversas, como mover las articulaciones para que la mano llegue a un punto.
Ejemplo 1 — Verificar una inversa
Es [[1,−1],[−1,2]] la inversa de A = [[2,1],[1,1]]?
- Multiplico A por la candidata, fila por columna.
- (1,1): 2·1 + 1·(−1) = 1. (1,2): 2·(−1) + 1·2 = 0. (2,1): 1·1 + 1·(−1) = 0. (2,2): 1·(−1) + 1·2 = 1.
- Da [[1,0],[0,1]] = I: si, es la inversa.
Ejemplo 2 — Construir la inversa con la formula
Halla la inversa de A = [[3,2],[1,1]].
- det = 3·1 − 2·1 = 1.
- A⁻¹ = (1/1)[[1,−2],[−1,3]].
- A⁻¹ = [[1,−2],[−1,3]].
Ejemplo 3 — Una matriz SIN inversa
Tiene inversa A = [[2,4],[1,2]]?
- det = 2·2 − 4·1 = 4 − 4 = 0.
- Con det = 0, la formula dividiria entre 0: imposible.
- No tiene inversa: la maquina aplasta informacion.
Ejemplo 4 — Deshacer el despacho
La maquina A = [[1,1],[1,2]] convirtio el pedido en despacho. Que maquina lo devuelve?
- det = 1·2 − 1·1 = 1.
- A⁻¹ = (1/1)[[2,−1],[−1,1]].
- La maquina que deshace es [[2,−1],[−1,1]].
Ejemplo 5 — Por que I es el "1"
Que le hace I = [[1,0],[0,1]] a cualquier matriz A?
- A · I deja A igual, como multiplicar un numero por 1.
- Por eso A · A⁻¹ = I significa "deshacer".
- I es el elemento neutro del producto de matrices.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Responde una a una: cada respuesta se marca en verde o rojo. Necesitas 80% para aprobar. Pulsa Reintentar para barajar.