La elipse: elementos y ecuaciones
La elipse: elementos y ecuaciones
El planetario de Santo Domingo prepara su función de gala. En la cúpula, un cometa recorre su órbita elíptica con el Sol clavado en uno de los focos. Si tensaras un hilo entre los dos focos y deslizaras un lápiz manteniéndolo tirante, dibujarías exactamente la misma curva: la elipse es el lugar de los puntos cuya suma de distancias a dos focos es constante.
Esa suma constante vale 2a, el largo del eje mayor. Los elementos clave son el centro, los focos (a distancia c del centro), los vértices (a distancia a) y los co-vértices (a distancia b). Con centro en el origen y eje mayor horizontal, la ecuación es x²/a² + y²/b² = 1, y los tres números se enlazan con c² = a² − b².
En el simulador estiras los semiejes y ves los focos acercarse o huir; en la misión deberás CALCULAR los focos con la fórmula, sin leerlos del dibujo.
La órbita del cometa
Lo que la órbita te estaba mostrando
1) La suma constante es 2a. Todo punto de la elipse cumple que la suma de sus distancias a los dos focos vale exactamente 2a (el largo del eje mayor). Esa es la definición; el hilo del jardinero la hace visible.
2) Los tres números se enlazan con c² = a² − b². El semieje mayor a, el semieje menor b y la distancia focal c forman un triángulo rectángulo: a es la hipotenusa, b y c los catetos. Por eso en la elipse c es SIEMPRE menor que a.
3) El mayor denominador manda. Si el número grande está bajo x², el eje mayor es horizontal y los focos van sobre el eje x; si está bajo y², el eje mayor es vertical y los focos van sobre el eje y. Cuidado: a² es el número, a es su raíz.
- Identifica a² y b²: el mayor denominador es a² (eje mayor); el menor es b². Saca raíz: a y b.
- Ubica el eje mayor: si a² está bajo x², horizontal; si está bajo y², vertical.
- Calcula c: c² = a² − b² → c = √(a² − b²).
- Escribe los elementos: vértices a distancia a, focos a distancia c, co-vértices a distancia b, sobre el eje que toca.
| Ecuación | a, b, c | Focos |
|---|---|---|
| x²/25 + y²/16 = 1 | a=5, b=4, c=3 | (±3, 0) |
| x²/25 + y²/9 = 1 | a=5, b=3, c=4 | (±4, 0) |
| x²/169 + y²/144 = 1 | a=13, b=12, c=5 | (±5, 0) |
| x²/16 + y²/25 = 1 | a=5, b=4, c=3 (vertical) | (0, ±3) |
Error a evitar: confundir a² con a. En x²/25 el semieje es a = 5 (no 25), porque 25 es a². Y no uses c² = a² + b²: esa es la fórmula de la hipérbola; en la elipse se RESTA.
El origen. Las cónicas las estudió Apolonio de Perga (siglo III a.C.) cortando un cono con un plano: la elipse es el corte inclinado que se cierra. Pero su gran momento llegó en 1609, cuando Johannes Kepler descubrió que los planetas no giran en círculos perfectos sino en elipses con el Sol en un foco (su Primera Ley), corrigiendo dos mil años de astronomía circular.
Quién la usa hoy y para qué. La elipse trabaja en todas partes:
- 🪐Astronomía y satélites. Órbitas de planetas, cometas (Halley) y satélites artificiales son elipses; las misiones espaciales calculan transferencias entre órbitas elípticas.
- 🏛️Salas de los susurros. Cúpulas y galerías elípticas (como en el Capitolio de EE. UU.) concentran el sonido de un foco al otro: un susurro cruza la sala intacto.
- 🩺Medicina. El litotricio rompe cálculos renales colocando el riñón en un foco de un reflector elíptico y la onda de choque en el otro.
- ⚙️Ingeniería y diseño. Engranajes elípticos, arcos de puentes y trazado de pistas y túneles usan la geometría de la elipse para repartir cargas y luz.
Ejemplo 1 — Hallar los focos desde la ecuación
Dada x²/25 + y²/16 = 1, halla a, b, c y los focos.
- a² = 25 → a = 5; b² = 16 → b = 4.
- c² = a² − b² = 25 − 16 = 9 → c = 3.
- El mayor está bajo x²: eje mayor horizontal. Focos en (−3, 0) y (3, 0).
Ejemplo 2 — Foco entero con a = 5, b = 3
Halla los focos de x²/25 + y²/9 = 1.
- a = 5, b = 3.
- c² = 25 − 9 = 16 → c = 4.
- Focos en (±4, 0); vértices en (±5, 0); co-vértices en (0, ±3).
Ejemplo 3 — Eje mayor VERTICAL
Halla los focos de x²/16 + y²/25 = 1.
- El mayor (25) está bajo y²: eje mayor VERTICAL, a = 5 sobre el eje y.
- b = 4; c² = 25 − 16 = 9 → c = 3.
- Focos en (0, ±3); vértices en (0, ±5).
Ejemplo 4 — La órbita del cometa
La órbita proyectada tiene semieje mayor a = 13 y semieje menor b = 12. ¿A qué distancia del centro está el Sol (un foco)?
- c² = a² − b² = 169 − 144 = 25.
- c = 5: el Sol está a 5 unidades del centro de la órbita.
- La suma de distancias del cometa a los dos focos es 2a = 26 en todo punto.
Ejemplo 5 — Escribir la ecuación desde los datos
Una elipse centrada en el origen tiene vértices en (±10, 0) y focos en (±8, 0). ¿Su ecuación?
- a = 10 (vértice), c = 8 (foco).
- b² = a² − c² = 100 − 64 = 36 → b = 6.
- Ecuación: x²/100 + y²/36 = 1.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Ecuación canónica de la elipse con centro (h, k)
Ecuación canónica de la elipse con centro (h, k)
El planetario tiene una sala de los susurros: una sala elíptica donde dos personas paradas en los focos se oyen aunque hablen bajito, porque todo sonido que sale de un foco rebota hacia el otro. Pero la sala no está centrada en el origen del plano del edificio: su centro está en un punto (h, k).
Trasladar el centro no cambia la forma de la elipse: solo mueve en bloque el centro, los focos y los vértices. La ecuación pasa de x²/a² + y²/b² = 1 a (x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1. Cada paréntesis es un "nuevo origen privado" para la sala.
En el simulador deslizas la sala por el plano; en la misión deberás UBICAR el centro y los focos leyendo la ecuación, sin verlos dibujados.
La sala de los susurros
Lo que el traslado de la sala te enseña
1) (h, k) es el nuevo centro. Trasladar la elipse reemplaza x por (x − h) e y por (y − k). El centro pasa del origen a (h, k), y con él viajan los focos y los vértices.
2) Cuidado con el signo. (x − 3)² significa centro en x = +3, no −3. El número que RESTAS dentro del paréntesis es la coordenada del centro. Si ves (x + 2)², es (x − (−2))²: centro en −2.
3) Los focos se trasladan. Si el eje mayor es horizontal, los focos van en (h ± c, k); si es vertical, en (h, k ± c). La distancia c es la misma de la elipse sin trasladar: c² = a² − b².
- Lee el centro: de (x − h)² e (y − k)², el centro es (h, k). Ojo al signo: (x + 1) → h = −1.
- Identifica a² y b²: el mayor denominador es a²; saca raíces a y b.
- Ubica el eje mayor: a² bajo (x − h)² → horizontal; bajo (y − k)² → vertical.
- Calcula c y traslada los focos: c² = a² − b²; focos en (h ± c, k) u (h, k ± c).
| Ecuación | Centro | Focos |
|---|---|---|
| (x − 2)²/25 + (y − 1)²/16 = 1 | (2, 1) | (5, 1) y (−1, 1) |
| (x + 3)²/25 + (y − 2)²/9 = 1 | (−3, 2) | (1, 2) y (−7, 2) |
| (x − 0)²/16 + (y − 4)²/25 = 1 | (0, 4) | (0, 7) y (0, 1) |
Error a evitar: leer (x − 3)² como centro en −3. El centro toma el valor que hace CERO el paréntesis: x − 3 = 0 → x = 3. Y no olvides trasladar los focos: no son (±c, 0), sino (h ± c, k).
El origen. La idea de trasladar ejes para simplificar ecuaciones viene de René Descartes y Pierre de Fermat (siglo XVII), padres de la geometría analítica. Trasladar el origen a (h, k) convierte una ecuación complicada en la forma canónica, una técnica que hoy es rutina en física e ingeniería para "centrar" un problema donde conviene.
Quién la usa hoy y para qué. Las elipses trasladadas están en todas partes:
- 🏛️Acústica arquitectónica. Galerías de susurros reales (el Capitolio de EE. UU., la Catedral de San Pablo en Londres) colocan a las personas en los focos de una elipse trasladada.
- 🛰️Órbitas y satélites. Una órbita no está centrada en la Tierra: el planeta ocupa un foco, así que la elipse aparece "trasladada" respecto al centro geométrico.
- 🩺Litotricia. El reflector elíptico del equipo se posiciona con su centro trasladado para que el foco coincida con el cálculo renal del paciente.
- 🎨Diseño y CAD. El software de diseño dibuja elipses con centro arbitrario (h, k) y orientación; trasladar es la operación más básica.
Ejemplo 1 — Leer el centro (cuidado con el signo)
¿Cuál es el centro de (x − 2)²/25 + (y − 1)²/16 = 1?
- x − 2 = 0 → h = 2; y − 1 = 0 → k = 1.
- Centro: (2, 1).
- El signo menos dentro deja el valor POSITIVO en el centro.
Ejemplo 2 — Signo más dentro del paréntesis
¿Centro de (x + 3)²/25 + (y − 2)²/9 = 1?
- (x + 3) = (x − (−3)) → h = −3.
- (y − 2) → k = 2.
- Centro: (−3, 2).
Ejemplo 3 — Hallar los focos trasladados
Focos de (x − 2)²/25 + (y − 1)²/16 = 1.
- Centro (2, 1); a²=25, b²=16; eje mayor horizontal.
- c² = 25 − 16 = 9 → c = 3.
- Focos en (h ± c, k) = (5, 1) y (−1, 1).
Ejemplo 4 — La sala de los susurros
La sala tiene centro (3, −2), a = 10 y b = 8. ¿Dónde se paran los dos visitantes (focos) para oírse?
- c² = a² − b² = 100 − 64 = 36 → c = 6.
- Eje mayor horizontal: focos en (3 ± 6, −2).
- Puntos de susurro: (9, −2) y (−3, −2).
Ejemplo 5 — Escribir la ecuación de la sala
Centro (−1, 4), semieje mayor horizontal a = 5, semieje menor b = 3. ¿Ecuación?
- h = −1, k = 4 → (x + 1) e (y − 4).
- a² = 25 bajo x; b² = 9 bajo y.
- (x + 1)²/25 + (y − 4)²/9 = 1.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
La hipérbola: elementos y ecuaciones
La hipérbola: elementos y ecuaciones
En la carta de navegación del planetario, dos estaciones emisoras (los focos) lanzan señales. Un barco se mueve de modo que la diferencia de sus distancias a las dos estaciones se mantiene constante: su rastro dibuja una hipérbola, una curva de dos ramas que huyen hacia el infinito guiadas por dos rectas, las asíntotas.
Donde la elipse SUMA y encierra, la hipérbola RESTA y escapa. Con centro en el origen y ramas que abren en horizontal: x²/a² − y²/b² = 1. Los focos cumplen c² = a² + b² (¡se SUMA!), los vértices están a distancia a y las asíntotas son y = ±(b/a)x.
En el simulador cambias a y b y ves las ramas abrirse y las asíntotas girar; en la misión deberás CALCULAR c y la pendiente de las asíntotas, sin leerlas del dibujo.
Las dos estaciones
Lo que las dos estaciones te enseñan
1) La diferencia constante es 2a. Todo punto de la hipérbola cumple que la diferencia (en valor absoluto) de sus distancias a los dos focos vale 2a. Es el espejo de la elipse: allá se suma, aquí se resta.
2) Aquí c es el MAYOR: c² = a² + b². A diferencia de la elipse, en la hipérbola se SUMA. Por eso c > a y c > b siempre: los focos quedan más allá de los vértices.
3) Las asíntotas guían las ramas. Las rectas y = ±(b/a)x son los rieles a los que las ramas se acercan sin tocar. Ojo: la pendiente es b/a (no a/b), y el término positivo (aquí x²) dice que las ramas abren en horizontal.
- Identifica a² y b²: a² está bajo el término POSITIVO; b² bajo el negativo. Saca raíces a y b.
- Ubica la apertura: si x² es positivo, ramas horizontales (vértices sobre x); si y² es positivo, verticales.
- Calcula c: c² = a² + b² (se SUMA) → c = √(a² + b²).
- Escribe asíntotas y elementos: y = ±(b/a)x; vértices a distancia a; focos a distancia c.
| Ecuación | a, b, c | Asíntotas |
|---|---|---|
| x²/9 − y²/16 = 1 | a=3, b=4, c=5 | y = ±(4/3)x |
| x²/16 − y²/9 = 1 | a=4, b=3, c=5 | y = ±(3/4)x |
| x²/36 − y²/64 = 1 | a=6, b=8, c=10 | y = ±(4/3)x |
| x²/25 − y²/144 = 1 | a=5, b=12, c=13 | y = ±(12/5)x |
Error a evitar: usar c² = a² − b² (la fórmula de la elipse). En la hipérbola se SUMA: c² = a² + b². Y la pendiente de las asíntotas es b/a, no a/b.
El origen. Como la elipse, la hipérbola fue estudiada por Apolonio de Perga (siglo III a.C.), que le puso su nombre (hyperbolé: "exceso", porque el ángulo del corte excede al de la generatriz). Durante siglos fue una curiosidad geométrica, hasta que el siglo XX la convirtió en herramienta de navegación y física moderna.
Quién la usa hoy y para qué. La hipérbola trabaja en silencio:
- 📡Navegación LORAN/GPS. Medir la DIFERENCIA de tiempos de señales de dos estaciones ubica un barco o avión sobre una hipérbola: cruzando dos, se halla la posición exacta.
- 🌌Astronomía. Cometas no periódicos y sondas que escapan del Sistema Solar siguen trayectorias hiperbólicas (de "escape").
- 📻Telescopios y antenas. Los telescopios Cassegrain usan un espejo secundario hiperbólico para plegar el camino de la luz.
- ⚛️Física. La trayectoria de una partícula desviada por otra carga (dispersión de Rutherford) es una hipérbola.
Ejemplo 1 — Hallar c (cuidado: aquí se SUMA)
Halla c de x²/9 − y²/16 = 1.
- a² = 9 → a = 3; b² = 16 → b = 4.
- c² = a² + b² = 9 + 16 = 25 → c = 5.
- Vértices (±3, 0), focos (±5, 0).
Ejemplo 2 — Las asíntotas
Asíntotas de x²/9 − y²/16 = 1.
- a = 3, b = 4. Pendiente = b/a = 4/3.
- Asíntotas: y = ±(4/3)x.
- Las ramas se acercan a estas rectas sin tocarlas.
Ejemplo 3 — Apertura VERTICAL
Elementos de y²/9 − x²/16 = 1.
- El término positivo es y²: ramas VERTICALES, a = 3 sobre el eje y.
- b = 4; c² = 9 + 16 = 25 → c = 5.
- Vértices (0, ±3); focos (0, ±5); asíntotas y = ±(a/b)x = ±(3/4)x.
Ejemplo 4 — Las dos estaciones
El rastro del barco es x²/36 − y²/64 = 1. ¿Dónde están las estaciones (focos)?
- a = 6, b = 8.
- c² = 36 + 64 = 100 → c = 10.
- Estaciones en (±10, 0); la diferencia de distancias del barco es 2a = 12.
Ejemplo 5 — Escribir la ecuación
Hipérbola con vértices (±5, 0) y focos (±13, 0). ¿Su ecuación?
- a = 5 (vértice), c = 13 (foco).
- b² = c² − a² = 169 − 25 = 144 → b = 12.
- x²/25 − y²/144 = 1; asíntotas y = ±(12/5)x.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Ecuación canónica de la hipérbola con centro (h, k)
Ecuación canónica de la hipérbola con centro (h, k)
La carta de navegación del planetario no tiene su origen en el centro de la hipérbola: la curva se monta en un punto cualquiera (h, k) de la costa. Trasladar el centro mueve en bloque las dos ramas, los focos y las asíntotas, pero no cambia la forma.
La ecuación pasa de x²/a² − y²/b² = 1 a (x − h)²/a² − (y − k)²/b² = 1. Las asíntotas también se trasladan: ya no pasan por el origen, sino por el nuevo centro: y − k = ±(b/a)(x − h). El término positivo sigue decidiendo la apertura: si lo es (x − h)², las ramas abren en horizontal.
En el simulador deslizas la carta por la costa; en la misión deberás UBICAR el centro, los focos y las asíntotas leyendo la ecuación, sin verlos dibujados.
La carta de navegación
Lo que la carta trasladada te enseña
1) (h, k) es el nuevo centro. Se reemplaza x por (x − h) e y por (y − k). El centro, los focos, los vértices y las asíntotas se trasladan todos en bloque.
2) Las asíntotas también se mueven. Ya no son y = ±(b/a)x, sino y − k = ±(b/a)(x − h): pasan por el nuevo centro (h, k). Es el error más común olvidar trasladarlas.
3) El término positivo decide la apertura. Si (x − h)² es positivo, las ramas abren en horizontal y los focos van en (h ± c, k). Si lo es (y − k)², abren en vertical y los focos en (h, k ± c). Y cuidado con el signo del centro: (x − 3)² es centro en +3.
- Lee el centro: de (x − h)² e (y − k)², centro (h, k). Ojo al signo: (x + 2) → h = −2.
- Mira el término positivo: si es (x − h)², apertura horizontal; si es (y − k)², vertical.
- Calcula c: c² = a² + b² (se SUMA). Focos en (h ± c, k) u (h, k ± c).
- Traslada las asíntotas: y − k = ±(b/a)(x − h).
| Ecuación | Centro · c | Focos |
|---|---|---|
| (x − 1)²/9 − (y − 2)²/16 = 1 | (1, 2) · c=5 | (6, 2) y (−4, 2) |
| (x + 2)²/16 − (y − 0)²/9 = 1 | (−2, 0) · c=5 | (3, 0) y (−7, 0) |
| (x − 0)²/36 − (y + 3)²/64 = 1 | (0, −3) · c=10 | (10, −3) y (−10, −3) |
Error a evitar: dejar las asíntotas sin trasladar (escribir y = ±(b/a)x en vez de y − k = ±(b/a)(x − h)), y leer (x − 1)² como centro en −1. El centro es donde el paréntesis se hace cero: x = 1.
El origen. El sistema LORAN (Long Range Navigation), creado durante la Segunda Guerra Mundial, fue la primera gran aplicación práctica de la hipérbola trasladada: estaciones costeras emitían señales y un barco hallaba su posición sobre la intersección de hipérbolas centradas en pares de estaciones. El GPS moderno usa la misma idea con satélites.
Quién la usa hoy y para qué. La hipérbola trasladada navega el mundo:
- 🛥️Navegación marítima. Cartas hiperbólicas (LORAN-C) guiaron barcos durante décadas; sus centros están en las estaciones, no en el origen.
- 📍Localización de móviles. Las redes celulares estiman tu posición por diferencia de tiempos de señal a varias antenas: cada par define una hipérbola trasladada.
- ⚡Detección de rayos. Las redes de sensores localizan un rayo por la diferencia de tiempos de llegada del trueno a estaciones distintas.
- 🌋Sismología. Localizar un epicentro combina diferencias de tiempos entre estaciones sísmicas: geometría hiperbólica pura.
Ejemplo 1 — Leer el centro
Centro de (x − 1)²/9 − (y − 2)²/16 = 1.
- x − 1 = 0 → h = 1; y − 2 = 0 → k = 2.
- Centro: (1, 2).
- El signo menos deja el valor positivo en el centro.
Ejemplo 2 — Hallar los focos trasladados
Focos de (x − 1)²/9 − (y − 2)²/16 = 1.
- Centro (1, 2); a²=9, b²=16; término positivo es x² → horizontal.
- c² = 9 + 16 = 25 → c = 5.
- Focos en (h ± c, k) = (6, 2) y (−4, 2).
Ejemplo 3 — Las asíntotas trasladadas
Asíntotas de (x − 1)²/9 − (y − 2)²/16 = 1.
- a = 3, b = 4; pendiente b/a = 4/3.
- Pasan por el centro (1, 2): y − 2 = ±(4/3)(x − 1).
- No olvides el (x − 1) y el (y − 2): no pasan por el origen.
Ejemplo 4 — La carta de navegación
La carta tiene centro (0, −3), a = 6 y b = 8, apertura horizontal. ¿Dónde están las estaciones (focos)?
- c² = 36 + 64 = 100 → c = 10.
- Focos en (h ± c, k) = (0 ± 10, −3).
- Estaciones: (10, −3) y (−10, −3).
Ejemplo 5 — Escribir la ecuación
Hipérbola de centro (−2, 1), apertura horizontal, a = 4 y b = 3. ¿Ecuación?
- h = −2 → (x + 2); k = 1 → (y − 1).
- Positivo el término en x (horizontal): a²=16, b²=9.
- (x + 2)²/16 − (y − 1)²/9 = 1.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Aplicaciones de la elipse e hipérbola
Aplicaciones de la elipse e hipérbola
Llega la función de gala del planetario. En la cúpula, la órbita del cometa Halley gira con el Sol en un foco (no en el centro): es la Primera Ley de Kepler. El punto de la órbita más cercano al Sol es el perihelio (distancia a − c) y el más lejano es el afelio (distancia a + c).
En la pantalla de al lado, un barco perdido frente a la costa dominicana se localiza con dos estaciones que miden la diferencia de tiempos de su señal: eso lo clava sobre una hipérbola; con un segundo par de estaciones, sobre el cruce de dos. La elipse encierra (órbitas, susurros); la hipérbola escapa (localización, trayectorias de escape).
En el simulador ajustas la órbita y ves perihelio y afelio; en la misión deberás CALCULARLOS, o resolver una localización, sin leerlos del dibujo.
La función de gala
Lo que la gala te enseña
1) Kepler: el Sol está en un FOCO, no en el centro. Por eso el cometa se acerca (perihelio = a − c) y se aleja (afelio = a + c) del Sol. Si el Sol estuviera en el centro, la distancia sería siempre la misma (un círculo).
2) La elipse encierra; la hipérbola escapa. Órbitas cerradas y salas de susurros son elipses (suma constante). Localización por diferencia de tiempos y trayectorias de escape son hipérbolas (diferencia constante).
3) Localizar = intersecar hipérbolas. Dos estaciones que miden la diferencia de tiempos de una señal colocan al emisor sobre una hipérbola cuyos focos son las estaciones; la diferencia de distancias vale 2a. Con dos pares de estaciones, el cruce da la posición exacta.
- Identifica la cónica: ¿algo que encierra/orbita/concentra sonido? Elipse. ¿Localización por diferencias o escape? Hipérbola.
- Órbita: de a y c saca perihelio = a − c y afelio = a + c (Sol en un foco).
- Localización: la diferencia de distancias a las dos estaciones es 2a; con la diferencia y la separación de estaciones (2c) hallas la hipérbola.
- Interpreta: la respuesta debe tener sentido físico y unidades.
| Situación | Cónica | Cuenta clave |
|---|---|---|
| Órbita de cometa, Sol en foco | Elipse | peri = a − c, afel = a + c |
| Sala de los susurros | Elipse | foco a foco |
| Barco por diferencia de tiempos | Hipérbola | dif. distancias = 2a |
| Sonda que escapa del Sol | Hipérbola | trayectoria abierta |
Error a evitar: poner el Sol en el centro de la órbita. El Sol está en un FOCO; por eso hay perihelio y afelio distintos. Y no confundas qué curva modela qué: órbitas y susurros son elipses; localización y escape, hipérbolas.
El origen. Johannes Kepler (1609–1619) formuló sus tres leyes con los datos de Tycho Brahe: los planetas recorren elipses con el Sol en un foco (1.ª), barren áreas iguales en tiempos iguales (2.ª) y el cuadrado del período es proporcional al cubo del semieje mayor (3.ª). Décadas después, Newton demostró que la gravedad explica las tres. La hipérbola entró a la práctica en el siglo XX con la navegación por radio.
Quién las usa hoy y para qué. Las dos cónicas, en acción:
- ☄️Astronáutica. Misiones a Marte calculan órbitas de transferencia elípticas; las sondas Voyager siguen trayectorias hiperbólicas de escape del Sistema Solar.
- 📍Localización. GPS, redes celulares y sistemas de rescate ubican emisores por diferencias de tiempo: geometría hiperbólica trabajando en tu teléfono.
- 🏥Medicina. La litotricia (reflector elíptico) rompe cálculos renales colocándolos en un foco; el principio es el de la sala de los susurros.
- 🛰️Comunicaciones. Satélites en órbitas elípticas (tipo Molniya) cubren latitudes altas; los telescopios usan espejos hiperbólicos para enfocar.
Ejemplo 1 — Perihelio y afelio
Una órbita tiene a = 5 y c = 3. ¿Perihelio y afelio?
- Perihelio = a − c = 5 − 3 = 2.
- Afelio = a + c = 5 + 3 = 8.
- El cometa va de 2 (cerca del Sol) a 8 (lejos).
Ejemplo 2 — Deducir c desde peri y afelio
Un planeta tiene perihelio 2 y afelio 18. ¿a y c?
- a = (peri + afel)/2 = (2 + 18)/2 = 10.
- c = (afel − peri)/2 = (18 − 2)/2 = 8.
- a = 10, c = 8: órbita muy excéntrica.
Ejemplo 3 — ¿Qué cónica modela cada cosa?
Clasifica: (a) órbita de Marte; (b) GPS por diferencia de tiempos.
- (a) Órbita cerrada con el Sol en un foco → elipse.
- (b) Localización por diferencia de tiempos → hipérbola.
- La elipse encierra; la hipérbola escapa.
Ejemplo 4 — Localizar el barco perdido
Dos estaciones costeras detectan que la señal del barco llega con una diferencia de distancias de 6 millas. La hipérbola tiene a = 3. Las estaciones (focos) están a c = 5 del centro. ¿Cuánto vale b?
- Diferencia de distancias = 2a = 6 → a = 3 ✓.
- c² = a² + b² → b² = 25 − 9 = 16.
- b = 4: el barco está sobre x²/9 − y²/16 = 1.
Ejemplo 5 — Otro cometa de la gala
La órbita de un cometa tiene a = 13 y c = 5. ¿Perihelio y afelio?
- Perihelio = a − c = 13 − 5 = 8.
- Afelio = a + c = 13 + 5 = 18.
- El Sol está en un foco: por eso las dos distancias difieren.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Responde una a una: cada respuesta se marca en verde o rojo. Necesitas 80% para aprobar. Pulsa Reintentar para barajar.