La parábola
La parábola
En el banco de pruebas, el técnico marca un punto fijo —el foco, donde irá el receptor— y una recta fija bajo el plato —la directriz. El perfil del plato es la parábola: el conjunto de todos los puntos que están a la misma distancia del foco que de la directriz. Esa doble distancia igual no es un capricho: es lo que hace que toda señal que llega paralela rebote justo al receptor.
Decidir si un punto pertenece a la parábola es comparar dos números: la distancia del punto al foco (con la fórmula de distancia entre dos puntos, tema 1.1) y la distancia del punto a la directriz (medida perpendicular a ella). Si empatan, el punto está sobre la curva; si no, está fuera.
En el simulador moverás el foco y la directriz y verás las dos distancias latir gemelas sobre la curva; en la misión, deberás DECIDIR la pertenencia de un punto con las medidas ocultas.
El perfil del plato
Lo que el banco de pruebas demuestra
1) Dos distancias, una igualdad. El foco es un punto F; la directriz es una recta. La parábola es el lugar geométrico donde esas dos distancias coinciden. El vértice es el punto medio entre el foco y la directriz, y siempre pertenece.
2) Cómo se miden. La distancia al foco usa la fórmula de distancia entre dos puntos: raíz((x-x_F)² + (y-y_F)²). La distancia a una directriz horizontal y = -p es vertical: |y - (-p)| = |y + p|. No se cruzan los ejes.
3) Por qué importa. Esa igualdad es la razón física de la antena: todo rayo paralelo al eje recorre el mismo camino hasta el foco, así que las señales llegan en fase y se concentran en el receptor. La geometría ES la ingeniería.
- Ubica foco y directriz: foco F(0, p), directriz y = -p (plato vertical con vértice en el origen).
- Distancia al foco: d(P, F) = raíz((x_P)² + (y_P - p)²).
- Distancia a la directriz: d(P, dir) = |y_P + p| (perpendicular, vertical).
- Compara: si las dos son iguales, P pertenece; si no, está fuera.
| Punto P (con p = 2) | Al foco (0,2) | A la directriz y=-2 |
|---|---|---|
| Vértice (0, 0) | raíz(0+4) = 2 | |0+2| = 2 · pertenece |
| Lado recto (4, 2) | raíz(16+0) = 4 | |2+2| = 4 · pertenece |
| Fuera (4, 4) | raíz(16+4) ≈ 4.47 | |4+2| = 6 · no pertenece |
| Fuera (3, 3) | raíz(9+1) ≈ 3.16 | |3+2| = 5 · no pertenece |
Error a evitar: decidir mirando solo la distancia al foco ("está cerca del foco, pertenece"). Pertenecer exige IGUALAR las dos distancias; un punto puede estar cerquísima del foco y aun así no pertenecer porque su distancia a la directriz es otra.
El origen. La parábola fue estudiada por los griegos: Menecmo (siglo IV a.C.) la halló cortando un cono, y Apolonio de Perga le dio el nombre "parábola" en su tratado sobre las cónicas. Pero su propiedad reflectora —que todo rayo paralelo al eje pasa por el foco— la explotó Arquímedes, a quien la leyenda atribuye espejos parabólicos para quemar barcos en Siracusa. Siglos después, Galileo demostró que un proyectil lanzado dibuja una parábola.
Quién la usa hoy y para qué. La doble distancia igual mueve tecnología real:
- 📡Antenas y telescopios. Las antenas parabólicas de TV satelital y los radiotelescopios concentran señales débiles en el foco — exactamente la propiedad reflectora.
- 🔦Faros y reflectores. En un faro de carro o una linterna, el bombillo va en el foco y la luz sale en haz paralelo: la propiedad usada al revés.
- ☀️Cocinas y hornos solares. Un plato parabólico concentra el sol en el foco, donde la olla alcanza cientos de grados — usado en proyectos rurales dominicanos.
- 🌉Puentes y arquitectura. El cable de un puente colgante cargado uniformemente toma forma de parábola; arcos y antenas la repiten en todo el mundo.
Ejemplo 1 — El vértice siempre pertenece
Foco (0, 2), directriz y = -2. ¿Pertenece P(0, 0)?
- d(P, foco) = raíz((0)² + (0-2)²) = raíz(4) = 2.
- d(P, directriz) = |0 - (-2)| = |2| = 2.
- 2 = 2 → P pertenece (es el vértice, punto medio entre foco y directriz).
Ejemplo 2 — Punto del lado recto
Foco (0, 2), directriz y = -2. ¿Pertenece P(4, 2)?
- d(P, foco) = raíz((4)² + (2-2)²) = raíz(16) = 4.
- d(P, directriz) = |2 + 2| = 4.
- 4 = 4 → P pertenece. Está a la altura del foco: el lado recto mide 2p a cada lado.
Ejemplo 3 — Un punto que NO pertenece
Foco (0, 2), directriz y = -2. ¿Pertenece P(4, 4)?
- d(P, foco) = raíz((4)² + (4-2)²) = raíz(16+4) = raíz(20) ≈ 4.47.
- d(P, directriz) = |4 + 2| = 6.
- 4.47 ≠ 6 → P no pertenece. Más alto que la curva: queda dentro de la "boca" del plato.
Ejemplo 4 — Calibrar el borde del plato
Plato con foco (0, 3) y directriz y = -3. El borde del plato está en (6, 3). ¿Está bien calibrado (pertenece)?
- d(borde, foco) = raíz((6)² + (3-3)²) = raíz(36) = 6.
- d(borde, directriz) = |3 + 3| = 6.
- 6 = 6 → el borde pertenece: el plato está bien calibrado. Es el extremo del lado recto (largo total 4p = 12).
Ejemplo 5 — El error de mirar solo el foco
Foco (0, 3), directriz y = -3. ¿Pertenece P(3, 3)?
- d(P, foco) = raíz((3)² + (3-3)²) = raíz(9) = 3.
- Tentación: "3 es poco, está cerca del foco, pertenece". ¡Falta la otra distancia!
- d(P, directriz) = |3 + 3| = 6. Como 3 ≠ 6 → no pertenece.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
La ecuación de la parábola con vértice (0, 0)
La ecuación de la parábola con vértice (0, 0)
Con el plato centrado en el origen del banco, su perfil es una parábola con vértice en (0, 0). Toda la calibración se reduce a un número: el parámetro p, la distancia del vértice al foco. Si el plato abre hacia arriba o abajo, su ecuación es x² = 4py; si abre a los lados, es y² = 4px. El foco queda en (0, p) o (p, 0) y la directriz, al otro lado del vértice.
Calibrar es elegir p para que el receptor (el foco) quede a la distancia exigida. Un p grande abre el plato y aleja el foco; un p chico lo cierra y lo acerca. El signo de p decide el sentido: positivo abre hacia arriba (o derecha), negativo hacia abajo (o izquierda).
En el simulador moverás p y verás la ecuación reescribirse en vivo con su 4p; en la misión, deberás escribir la ecuación (o hallar foco y directriz) con la ecuación oculta.
La calibración del plato
La ecuación que calibra el plato
1) p es la distancia al foco. En x² = 4py el foco es (0, p) y la directriz y = -p. En y² = 4px el foco es (p, 0) y la directriz x = -p. El vértice siempre en el origen.
2) El 4 importa. El coeficiente de la ecuación es 4p, no p. Si ves x² = 12y, entonces 4p = 12, así que p = 3 y el foco es (0, 3) — no (0, 12). Despeja p antes de ubicar el foco.
3) Orientación y signo. La variable que va al cuadrado fija el eje: x² abre vertical; y² abre horizontal. El signo de p decide el sentido: p > 0 abre hacia arriba/derecha; p < 0 hacia abajo/izquierda.
- Decide la orientación: ¿abre vertical (x²) u horizontal (y²)?
- Calcula 4p: multiplica el parámetro por 4; ese es el coeficiente de la ecuación.
- Escribe: x² = 4py o y² = 4px con el número hallado.
- De vuelta: dada la ecuación, divide el coeficiente entre 4 para hallar p; luego foco y directriz.
| Dato | Ecuación | Foco · directriz |
|---|---|---|
| Vertical, p = 2 | x² = 8y | (0, 2) · y = -2 |
| Vertical, p = 3 | x² = 12y | (0, 3) · y = -3 |
| Horizontal, p = 2 | y² = 8x | (2, 0) · x = -2 |
| Dada x² = 16y | 4p = 16 → p = 4 | (0, 4) · y = -4 |
Error a evitar: confundir 4p con p. En x² = 12y el coeficiente 12 es 4p; el foco está a p = 12/4 = 3 del vértice, NO a 12. Divide siempre entre 4 antes de ubicar el foco.
El origen. La forma x² = 4py es la "ecuación reducida" de la parábola, y su nombre tiene historia: Apolonio de Perga (siglo III a.C.) llamó "parábola" (del griego "aplicación exacta") a la cónica cuyo corte aplicaba el área justa, sin exceso (hipérbola) ni defecto (elipse). El factor 4p emerge naturalmente al imponer la definición foco-directriz con coordenadas, algo que solo fue posible tras Descartes y la geometría analítica (siglo XVII).
Quién la usa hoy y para qué. La ecuación reducida es la herramienta de diseño:
- 📡Diseño de antenas. El ingeniero elige p (la profundidad focal) y la ecuación x² = 4py le da el perfil exacto que debe fabricar.
- 🛰️Telescopios reflectores. El espejo primario de un telescopio Newtoniano es un paraboloide; su corte es x² = 4py, y p fija dónde se forma la imagen.
- 🚗Faros de vehículos. El reflector se diseña con la ecuación reducida para que el bombillo en el foco proyecte luz paralela a la carretera.
- 🏗️Ingeniería estructural. Arcos y cables parabólicos se calculan con x² = 4py para repartir la carga de forma uniforme.
Ejemplo 1 — De p a la ecuación (vertical)
Parábola vertical, vértice en el origen, p = 2. ¿Su ecuación?
- Vertical → x² = 4py.
- 4p = 4·2 = 8.
- x² = 8y. Foco (0, 2), directriz y = -2.
Ejemplo 2 — De la ecuación al foco
x² = 16y. ¿Foco y directriz?
- 4p = 16 → p = 16/4 = 4.
- Foco (0, 4) (no (0, 16): primero divide entre 4).
- Directriz y = -4.
Ejemplo 3 — Orientación horizontal
Parábola horizontal con foco (3, 0). ¿Su ecuación?
- Horizontal → y² = 4px, foco (p, 0) → p = 3.
- 4p = 12.
- y² = 12x. Directriz x = -3.
Ejemplo 4 — Calibrar el receptor
El taller quiere el receptor a 2 cm del vértice en un plato vertical. ¿Qué ecuación deja la calibración?
- El receptor va en el foco: p = 2 cm.
- Vertical → x² = 4py = 8y.
- x² = 8y: foco (0, 2). El plato concentrará la señal a 2 cm del fondo.
Ejemplo 5 — Abre hacia abajo (p negativo)
Parábola vertical que abre hacia ABAJO con p = 2 (es decir, p = -2). ¿Ecuación, foco y directriz?
- Abre abajo → p = -2, 4p = -8.
- x² = -8y.
- Foco (0, -2), directriz y = 2 (al otro lado del vértice).
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
La parábola con vértice (h, k)
La parábola con vértice (h, k)
Cuando el plato no va en el banco sino en una azotea de la ciudad, su vértice deja el origen y se muda al punto (h, k). La ecuación se reescribe con paréntesis: (x − h)² = 4p(y − k). La forma es la misma de antes; lo único que cambia es la posición. Y el foco viaja con el vértice: queda a la misma distancia p, ahora en (h, k + p).
Leer un montaje es leer dos traslados: h dice cuánto se corrió en horizontal y k cuánto en vertical. El vértice se obtiene cambiando el signo de lo que está dentro del paréntesis: (x − 2) significa h = 2; (x + 3) significa h = -3. Esa es la misma trampa de signo de la circunferencia (tema 2.3).
En el simulador moverás (h, k) por el mapa y verás la ecuación y el foco trasladarse en vivo; en la misión, deberás ubicar el vértice y el foco de una ecuación con el mapa oculto.
El montaje en la azotea
Lo que el traslado conserva y lo que mueve
1) La forma no cambia. Es la misma parábola del tema 3.2, solo que su "origen privado" es (h, k). El parámetro p sigue siendo la distancia del vértice al foco; el 4p sigue siendo el coeficiente.
2) Todo viaja junto. Si el vértice se mueve a (h, k), el foco se mueve a (h, k + p) y la directriz a y = k − p. El foco no se queda en el origen: acompaña al vértice.
3) Lee el signo al revés. (x − h) da vértice en +h; (x + h) da vértice en −h. Igual con (y − k). Es la misma lectura de la circunferencia (x − h)² + (y − k)² = r².
- Lee el vértice: en (x − h)² = 4p(y − k), el vértice es (h, k); recuerda invertir el signo del paréntesis.
- Halla p: el coeficiente es 4p; divide entre 4.
- Ubica el foco: suma p a la coordenada del eje (vertical: (h, k + p)).
- Directriz: resta p al otro lado: y = k − p.
| Ecuación | Vértice | Foco · directriz |
|---|---|---|
| (x - 2)² = 8(y - 1) | (2, 1), p = 2 | (2, 3) · y = -1 |
| (x + 3)² = 8(y - 2) | (-3, 2), p = 2 | (-3, 4) · y = 0 |
| (x - 1)² = 12(y + 2) | (1, -2), p = 3 | (1, 1) · y = -5 |
| (x - 4)² = 8(y - 3) | (4, 3), p = 2 | (4, 5) · y = 1 |
Error a evitar: leer (x + 3) como vértice en h = +3. El paréntesis lleva el signo invertido: (x + 3) = (x − (−3)), así que h = −3. Y no olvides trasladar también el foco: queda en (h, k + p), no en (0, k + p).
El origen. El traslado de ejes —reescribir una curva respecto a un nuevo origen— fue una de las grandes ideas de la geometría analítica de Descartes y Fermat (siglo XVII). Reveló que dos parábolas en lugares distintos del plano son la MISMA curva con un cambio de coordenadas, y que cualquier ecuación de segundo grado en una variable, como y = ax² + bx + c, esconde una parábola trasladada que aparece al completar el cuadrado.
Quién lo usa hoy y para qué. El traslado del vértice es rutina técnica:
- 📡Instalación de antenas. Cada antena se monta en una coordenada distinta del techo; el técnico traslada el vértice a (h, k) y recalcula el foco para apuntar el receptor.
- 🏟️Arquitectura. Arcos parabólicos de estadios y puentes se posicionan con (x − h)² = 4p(y − k) según dónde arranque el arco.
- 🎮Videojuegos y física. El salto de un personaje es una parábola con vértice en el punto más alto: el motor la traslada a la posición del jugador.
- 📈Optimización. El vértice de y = ax² + bx + c es el máximo o mínimo de la función; hallarlo (completando el cuadrado) resuelve problemas de costo e ingreso.
Ejemplo 1 — Leer vértice y foco
(x - 2)² = 8(y - 1). ¿Vértice, foco y directriz?
- Vértice (2, 1) (signos invertidos).
- 4p = 8 → p = 2. Foco (2, 1 + 2) = (2, 3).
- Directriz y = 1 - 2 = -1.
Ejemplo 2 — La trampa de signo
(x + 3)² = 8(y - 2). ¿Vértice y foco?
- (x + 3) = (x − (−3)) → h = -3. (y - 2) → k = 2. Vértice (-3, 2).
- 4p = 8 → p = 2. Foco (-3, 2 + 2) = (-3, 4).
- Directriz y = 2 - 2 = 0.
Ejemplo 3 — k negativo
(x - 1)² = 12(y + 2). ¿Vértice, foco, directriz?
- (y + 2) → k = -2. Vértice (1, -2).
- 4p = 12 → p = 3. Foco (1, -2 + 3) = (1, 1).
- Directriz y = -2 - 3 = -5.
Ejemplo 4 — Escribir la ecuación del montaje
Plato montado con vértice en la azotea (4, 3), abre hacia arriba, p = 2. ¿Su ecuación?
- Vertical, vértice (4, 3): (x − 4)² = 4p(y − 3).
- 4p = 8 → (x − 4)² = 8(y − 3).
- Foco (4, 5), directriz y = 1.
Ejemplo 5 — De los elementos a la ecuación
Vértice (2, -1), foco (2, 1). ¿Ecuación?
- El foco está 2 arriba del vértice → vertical, p = 1 - (-1) = 2.
- 4p = 8.
- (x − 2)² = 8(y + 1) (porque k = -1: (y − (−1)) = (y + 1)).
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Problemas asociados a la parábola
Problemas asociados a la parábola
El taller recibe órdenes en dos sentidos. A veces llega una ecuación y hay que extraer sus elementos: vértice, foco, directriz, abertura. Otras veces llegan los datos —un punto por el que pasa el plato— y hay que reconstruir la ecuación. La herramienta clave del segundo caso es el punto de paso: si la parábola x² = 4py pasa por (x₀, y₀), sustituyes y despejas p.
Por ejemplo, "esta parábola pasa por el borde del plato de 8 cm de ancho a 2 cm de profundidad: ¿dónde va el receptor?". El borde está en (4, 2) (¡el radio es la mitad del ancho: 8/2 = 4!). Sustituyendo: 4² = 4p·2, o sea 16 = 8p, y despejas p = 2. Ese p es la distancia del vértice al foco, donde irá el receptor.
En el simulador moverás el punto de paso y verás p despejarse en vivo; en la misión, deberás hallar p (y el foco) de una orden con la profundidad oculta.
La orden de trabajo
Reconstruir la ecuación desde un punto
1) Un punto da una ecuación. Si la parábola x² = 4py pasa por (x₀, y₀), al sustituir queda una sola incógnita: p. Despeja y la parábola queda definida.
2) No olvides el 4. p = x₀² / (4·y₀). El error más común es dividir solo entre y₀ y olvidar el 4, dando un p cuatro veces mayor.
3) Ancho no es radio. En un plato, el "ancho" es el diámetro: el punto del borde tiene x₀ igual a la MITAD del ancho. Un plato de 8 cm de ancho llega hasta x₀ = 4. Y con p hallado, foco (0, p) y directriz y = -p.
- Escribe la forma: x² = 4py (vértice en el origen, abre arriba).
- Sustituye el punto: (x₀)² = 4p·(y₀).
- Despeja p: p = x₀² / (4·y₀) — divide entre 4 Y entre y₀.
- Halla los elementos: foco (0, p), directriz y = -p, ecuación x² = 4py.
| Punto de paso | Despeje | p · foco |
|---|---|---|
| (4, 2) | 16 = 8p | p = 2 · (0, 2) |
| (6, 3) | 36 = 12p | p = 3 · (0, 3) |
| (8, 4) | 64 = 16p | p = 4 · (0, 4) |
| (10, 5) | 100 = 20p | p = 5 · (0, 5) |
Error a evitar: olvidar el 4 al despejar. De 16 = 4p·2, NO es p = 16/2 = 8: es p = 16/(4·2) = 16/8 = 2. Divide entre el 4 y entre y₀; y recuerda que el x₀ del borde es la mitad del ancho del plato.
El origen. El problema inverso —hallar la curva que pasa por ciertos puntos— es tan antiguo como la geometría griega, pero su tratamiento sistemático vino con Descartes (1637): traducir condiciones geométricas a ecuaciones y resolverlas. La parábola fue protagonista cuando Galileo demostró que un proyectil traza una parábola, y los artilleros del siglo XVII reconstruían trayectorias desde puntos medidos en el campo de tiro.
Quién lo usa hoy y para qué. Reconstruir parábolas desde datos es ingeniería diaria:
- 📡Diseño de antenas. El fabricante mide el ancho y la profundidad deseados y reconstruye p para colocar el receptor en el foco exacto.
- 🌉Puentes colgantes. Conociendo la altura de las torres y la flecha del cable, los ingenieros reconstruyen la parábola del cable para calcular tensiones.
- 🚀Balística y trayectorias. Desde dos o tres puntos observados de un proyectil o cohete se reconstruye la parábola y se predice el impacto.
- 📷Óptica. El espejo de un telescopio o de un faro se especifica por su punto focal; reconstruir p desde el tamaño deseado define la fabricación.
Ejemplo 1 — Despejar p de un punto
x² = 4py pasa por (4, 2). ¿p, foco, directriz?
- 16 = 4p·2 = 8p.
- p = 16/8 = 2 (divide entre 4 y entre 2).
- Foco (0, 2), directriz y = -2, ecuación x² = 8y.
Ejemplo 2 — Otro punto de paso
x² = 4py pasa por (6, 3). ¿p y foco?
- 36 = 4p·3 = 12p.
- p = 36/12 = 3.
- Foco (0, 3); ecuación x² = 12y.
Ejemplo 3 — El error de olvidar el 4
x² = 4py pasa por (8, 4). ¿p?
- 64 = 4p·4 = 16p.
- Tentación: p = 64/4 = 16. ¡Olvidaste dividir entre y₀!
- Correcto: p = 64/16 = 4. Foco (0, 4).
Ejemplo 4 — Ancho del plato y radio
Un plato de 8 cm de ancho tiene 2 cm de profundidad. ¿A qué profundidad va el receptor?
- El borde está en (radio, profundidad) = (8/2, 2) = (4, 2).
- 16 = 4p·2 = 8p → p = 2.
- El receptor (foco) va a 2 cm del vértice. (Si tomaras el ancho 8 como x₀, p saldría mal.)
Ejemplo 5 — Del p al ancho
x² = 8y (p = 2). ¿Qué ancho tiene el plato a una profundidad de 4.5?
- A y = 4.5: x² = 8·4.5 = 36 → x = 6.
- El borde está en (6, 4.5) y en (-6, 4.5).
- Ancho total = 2·6 = 12. El foco sigue en (0, 2).
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Aplicaciones de la parábola
Aplicaciones de la parábola
Toda la geometría de la unidad cobra vida en dispositivos reales gracias a una sola idea: la propiedad reflectora. Todo lo que llega paralelo al eje de una parábola rebota hacia el foco (así una antena concentra la señal del satélite en el receptor, y una cocina solar concentra el sol en la olla). Y al revés: todo lo que sale del foco rebota paralelo (así un faro de carro proyecta un haz recto desde el bombillo).
La consecuencia práctica es directa: el dispositivo solo funciona si el receptor, la olla o el bombillo van exactamente en el foco (0, p), no en el fondo del plato (el vértice). Ubicar el foco es despejar p del tamaño del plato, como en el tema 3.4. El chorro de una fuente y el cable de un puente colgante también dibujan parábolas.
En el simulador ubicarás el foco de cada estación para que funcione; en la misión, deberás colocar el receptor en el foco correcto con los rayos ocultos.
La feria de la parábola
La propiedad reflectora, aplicada
1) Dos direcciones, un foco. Antena y cocina solar: los rayos ENTRAN paralelos y se concentran en el foco (receptor, olla). Faro y linterna: la luz SALE del foco y se va paralela. Es la misma propiedad usada en ambos sentidos.
2) El receptor va en el foco. Nunca en el vértice (el fondo). Para ubicarlo, halla p del tamaño del plato: con x² = 4py y un punto del borde (x₀, y₀), p = x₀² / (4 y₀), y el foco es (0, p).
3) Más parábolas en la vida. El chorro de agua de una fuente cae en parábola (vértice arriba), y el cable de un puente colgante cargado uniformemente toma forma parabólica. La curva está en todas partes.
- Identifica el plato: su ancho y profundidad dan el punto del borde (x₀, y₀) con x₀ = ancho/2.
- Halla p: p = x₀² / (4 y₀) (tema 3.4).
- Coloca el receptor: en el foco (0, p), NO en el vértice.
- Verifica la dirección: antena/cocina concentran AL foco; faro proyecta DESDE el foco.
| Dispositivo | Dirección | Receptor en |
|---|---|---|
| Antena (borde (4,2)) | paralelo → foco | foco (0, 2) |
| Cocina solar (borde (6,3)) | paralelo → foco | olla en (0, 3) |
| Faro de carro (borde (8,4)) | foco → paralelo | bombillo en (0, 4) |
| Antena (borde (10,5)) | paralelo → foco | foco (0, 5) |
Error a evitar: poner el receptor en el fondo del plato (el vértice). El vértice no concentra nada; los rayos paralelos convergen en el FOCO (0, p). Un receptor en el vértice deja la antena ciega.
El origen. La propiedad reflectora se conoce desde la antigüedad: la leyenda cuenta que Arquímedes usó espejos parabólicos para incendiar barcos romanos en Siracusa (siglo III a.C.). En el siglo XVII, Newton aplicó la idea a la óptica y construyó el primer telescopio reflector (1668), diseñado para evitar las distorsiones de las lentes; los espejos parabólicos de alta precisión se generalizaron en telescopios posteriormente. La misma geometría que define la curva es la que la hace útil.
Quién la usa hoy y para qué. La propiedad reflectora mueve tecnología por todas partes:
- 📡Antenas satelitales. La TV por satélite, el internet rural y los radiotelescopios concentran señales débiles en el receptor del foco.
- ☀️Energía solar concentrada. Cocinas y hornos solares —usados en proyectos rurales dominicanos— y plantas termosolares concentran el sol en el foco para cocinar o generar vapor.
- 🔦Faros e iluminación. Faros de vehículos, linternas y reflectores de escenario ponen la bombilla en el foco para proyectar luz en haz paralelo.
- 🌉Ingeniería civil. Cables de puentes colgantes, arcos y chorros de fuentes dibujan parábolas que los ingenieros calculan a diario.
Ejemplo 1 — Antena: el receptor en el foco
Una antena tiene borde en (4, 2). ¿Dónde va el receptor?
- p = 4² / (4·2) = 16/8 = 2.
- Receptor en el foco (0, 2), no en el vértice.
- La señal paralela del satélite converge ahí.
Ejemplo 2 — Cocina solar
Una cocina solar tiene borde en (6, 3). ¿Dónde va la olla?
- p = 6² / (4·3) = 36/12 = 3.
- La olla va en el foco (0, 3).
- Todo el sol que entra paralelo se concentra ahí y la calienta.
Ejemplo 3 — Faro: la dirección inversa
Un reflector de faro tiene borde en (8, 4). ¿Dónde va el bombillo?
- p = 8² / (4·4) = 64/16 = 4.
- El bombillo va en el foco (0, 4).
- La luz SALE del foco y rebota PARALELA: haz recto. (Antena y faro: misma propiedad, sentido inverso.)
Ejemplo 4 — El error de poner el receptor en el fondo
Antena con borde en (10, 5). Un técnico pone el receptor en el vértice (0, 0). ¿Funciona?
- p = 10² / (4·5) = 100/20 = 5. El foco es (0, 5).
- El receptor está en (0, 0), no en (0, 5): NO funciona.
- Los rayos paralelos convergen en (0, 5); el vértice no capta la señal.
Ejemplo 5 — El chorro de la fuente
El agua de una fuente sale y cae dibujando una parábola con vértice arriba. ¿Qué tipo de parábola es?
- Abre hacia abajo: el vértice (punto más alto) es el máximo.
- Su ecuación tiene p negativo: x² = 4py con p < 0 (o (x-h)² = 4p(y-k) trasladada).
- Es la misma parábola, ahora describiendo una trayectoria física.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Responde una a una: cada respuesta se marca en verde o rojo. Necesitas 80% para aprobar. Pulsa Reintentar para barajar.