Distancia entre dos puntos y punto medio
Distancia entre dos puntos y punto medio
La Ciudad Cartesiana está trazada sobre un plano con ejes x e y. El cartógrafo municipal necesita saber cuánto mide la ruta aérea entre el dron A(x₁, y₁) y la antena B(x₂, y₂) — y dónde plantar la baliza del centro exacto. No usa cinta métrica: usa d = √(Δx² + Δy²) y M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2).
El truco es ver el triángulo rectángulo escondido: el desplazamiento horizontal Δx y el vertical Δy son los catetos; la ruta directa es la hipotenusa. Pitágoras hace el resto.
En el simulador verás el triángulo dibujarse solo; en la misión, el medidor se apaga y la cuenta corre por ti.
El Medidor de Rutas
Lo que el medidor te estaba mostrando
Para A(x₁, y₁) y B(x₂, y₂):
1) Es Pitágoras disfrazado. Δx y Δy son catetos; la distancia es la hipotenusa. Si Δy = 0, la fórmula se reduce al |x₂ − x₁| de 4.º: la versión 1D era un caso particular.
2) Los cuadrados borran los signos. (−6)² = 6²: no importa el orden de la resta ni el cuadrante donde caigan los puntos.
3) El medio promedia COORDENADA a COORDENADA. La x del medio solo depende de las x; la y, de las y. Dos promedios independientes.
- Resta las coordenadas: Δx = x₂ − x₁ y Δy = y₂ − y₁ (cuida los signos).
- Eleva al cuadrado y suma: Δx² + Δy².
- Saca la raíz: si la suma es cuadrado perfecto, la distancia es entera; si no, deja la raíz simplificada.
- Para el medio, promedia: x del medio = (x₁ + x₂)/2, y del medio = (y₁ + y₂)/2.
| Puntos | Δx, Δy | Distancia | Punto medio |
|---|---|---|---|
| (0,0) y (3,4) | 3, 4 | √25 = 5 | (1.5, 2) |
| (−3,−2) y (3,6) | 6, 8 | √100 = 10 | (0, 2) |
| (−5,2) y (7,2) | 12, 0 | 12 | (1, 2) |
| (1,1) y (4,3) | 3, 2 | √13 | (2.5, 2) |
Error a evitar: d ≠ Δx + Δy. De (0,0) a (3,4) no hay 7 de ruta directa: hay 5. Sumar catetos mide el camino en L, no la diagonal.
El origen. El teorema es de Pitágoras (~530 a.C., aunque los babilonios ya conocían las ternas mil años antes: la tablilla Plimpton 322 las lista). Pero la FÓRMULA de distancia nació cuando Descartes y Fermat (siglo XVII) pusieron coordenadas al plano: por primera vez una distancia se podía CALCULAR en vez de medir. Esa fusión —Pitágoras + coordenadas— fundó la geometría analítica, el idioma en el que hoy hablan los mapas digitales.
Quién lo usa hoy y para qué. La distancia euclidiana se calcula billones de veces por día:
- 📍GPS y mapas. Tu teléfono calcula distancias entre coordenadas sin parar: encontrar el restaurante "más cercano" es ejecutar esta fórmula contra miles de puntos.
- 🎮Videojuegos. Detección de colisiones, alcance de un ataque, radio de visión de un enemigo: distancia entre coordenadas, cuadro a cuadro, 60 veces por segundo.
- 🤖Inteligencia artificial. Los algoritmos de "vecinos más cercanos" y los buscadores de imágenes parecidas miden distancias euclidianas en espacios de cientos de dimensiones — la misma fórmula con más sumandos.
- 🚁Drones de reparto. Planificar rutas aéreas óptimas entre coordenadas urbanas: literalmente el problema del cartógrafo de esta lección.
Ejemplo 1 — La 3-4-5: A(0, 0), B(3, 4)
- Δx = 3 − 0 = 3 · Δy = 4 − 0 = 4.
- d = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
- M = ((0+3)/2, (0+4)/2) = (1.5, 2).
- La terna pitagórica más famosa: catetos 3 y 4, hipotenusa 5.
Ejemplo 2 — Cuadrantes mezclados: A(−3, −2), B(3, 6)
- Δx = 3 − (−3) = 6 · Δy = 6 − (−2) = 8.
- d = √(36 + 64) = √100 = 10.
- M = (0, 2): el centro cae sobre el eje y.
- Los negativos no estorban: restar un negativo suma, y el cuadrado borra signos.
Ejemplo 3 — Distancia no entera: A(1, 1), B(4, 3)
- Δx = 3 · Δy = 2.
- d = √(9 + 4) = √13 (≈ 3.61).
- √13 no se simplifica: 13 es primo. Se deja exacta.
- De 2.º recordamos: la respuesta exacta es la raíz, el decimal es solo aproximación.
Ejemplo 4 — La baliza del centro
El dron está en A(−7, 3) y la antena en B(5, −1). ¿Dónde va la baliza del punto medio, y a qué distancia queda de cada extremo?
- M = ((−7+5)/2, (3+(−1))/2) = (−1, 1).
- De A a M: Δx = 6, Δy = −2 → d = √40 = 2√10.
- De M a B: Δx = 6, Δy = −2 → la misma: 2√10 ✓.
- La baliza equidista de ambos: eso DEFINE al punto medio.
Ejemplo 5 — Verificar un triángulo isósceles
¿Es isósceles el triángulo P(0, 0), Q(4, 0), R(2, 3)?
- PQ = √(16 + 0) = 4.
- PR = √(4 + 9) = √13.
- QR = √((2−4)² + 9) = √13.
- PR = QR → isósceles. La fórmula de distancia clasifica figuras sin dibujarlas.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
La recta y su pendiente
La recta y su pendiente
Antes de pavimentar una calle nueva, el cartógrafo reporta su pendiente: cuánto SUBE la calle (Δy) por cada paso HORIZONTAL (Δx). Ese cociente, m = Δy/Δx, es el número que decide si los buses podrán subirla, si el agua de lluvia escurrirá y cuánto costará la obra.
La pendiente lee el carácter de la calle de un vistazo: positiva = sube hacia la derecha; negativa = baja; cero = plana; y si la calle es vertical, Δx = 0 y la pendiente no existe (ni los buses la suben).
En el simulador inclinarás calles a voluntad; en la misión, el inclinómetro se apaga y la pendiente exacta corre por tu cuenta.
El Inclinómetro
Lo que el inclinómetro te estaba mostrando
1) El signo cuenta la historia. m > 0 sube, m < 0 baja, m = 0 plana. Y el TAMAÑO de m mide qué tan empinada: m = 3 sube 3 por paso; m = 1/2, medio por paso.
2) La pendiente no depende de qué dos puntos tomes. Cualquier par de puntos de la misma recta da el mismo m: los triángulos son semejantes. Por eso la recta tiene UNA pendiente.
3) La vertical es la excepción. Δx = 0 obligaría a dividir entre cero: las rectas verticales no tienen pendiente (se describen como x = constante).
- Etiqueta los puntos: (x₁, y₁) y (x₂, y₂) — el orden da igual, pero sé consistente arriba y abajo.
- Resta las y arriba y las x abajo: m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁).
- Simplifica la fracción (o deja decimal exacto).
- Clasifica: positiva/negativa/cero/no existe, y verifica con el dibujo mental.
| Puntos | Cálculo | m | La calle… |
|---|---|---|---|
| (1, 2) y (3, 8) | 6/2 | 3 | sube fuerte |
| (−4, 3) y (4, −1) | −4/8 | −1/2 | baja suave |
| (−5, 2) y (7, 2) | 0/12 | 0 | plana |
| (2, −4) y (2, 4) | 8/0 | — | vertical: m no existe |
Error a evitar: mezclar el orden — (y₂ − y₁)/(x₁ − x₂) cambia el signo de m y convierte subidas en bajadas. Mismo punto primero arriba y abajo.
El origen. Medir inclinaciones es ingeniería antigua: los egipcios usaban el seqed (cuánto retrocede una pirámide por codo de altura — ¡una pendiente invertida!) hace 4500 años. La pendiente moderna como número m nació con la geometría analítica de Descartes, y en el siglo XVII Newton y Leibniz la convirtieron en la idea central del cálculo: la derivada es una pendiente que cambia punto a punto.
Quién lo usa hoy y para qué. La pendiente es el número favorito de quien construye o predice:
- 🛣️Ingeniería vial. Las normas fijan pendientes máximas (las carreteras de montaña dominicanas, como las que cruzan la Cordillera Central hacia Constanza, rondan el 6–8% = m ≈ 0.06–0.08): el inclinómetro decide por dónde puede pasar el camino.
- ♿Accesibilidad. Las rampas para sillas de ruedas exigen m ≤ 1/12 por norma: una pendiente calculada es la diferencia entre poder entrar o no.
- 📈Economía y datos. La "tendencia" de ventas, temperaturas o precios ES una pendiente: las regresiones lineales buscan la m que mejor describe los datos.
- 🎿Deporte y montaña. El porcentaje de una etapa ciclista o de una pista de esquí es Δy/Δx × 100: los puertos "del 10%" tienen m = 0.1.
Ejemplo 1 — Pendiente entera: (1, 2) y (3, 8)
- Δy = 8 − 2 = 6 · Δx = 3 − 1 = 2.
- m = 6/2 = 3: por cada paso, sube 3.
- Verifico con el otro orden: (2 − 8)/(1 − 3) = −6/−2 = 3 ✓.
- Consistencia arriba y abajo: el signo se cuida solo.
Ejemplo 2 — Pendiente negativa y fraccionaria: (−4, 3) y (4, −1)
- Δy = −1 − 3 = −4 · Δx = 4 − (−4) = 8.
- m = −4/8 = −1/2.
- Lectura: por cada 2 pasos a la derecha, baja 1.
- Bajada suave: perfecta para el drenaje, dice el cartógrafo.
Ejemplo 3 — Hallar un punto con la pendiente dada
Una calle pasa por (2, 1) con m = 2. ¿Qué altura tiene en x = 5?
- De x = 2 a x = 5 hay Δx = 3.
- Δy = m·Δx = 2·3 = 6.
- y = 1 + 6 = 7: pasa por (5, 7).
- La pendiente es una máquina de predicción: avance → subida.
Ejemplo 4 — ¿Tres puntos en la misma calle?
¿Están alineados P(−2, −3), Q(0, 1) y R(3, 7)?
- m de P a Q: (1−(−3))/(0−(−2)) = 4/2 = 2.
- m de Q a R: (7−1)/(3−0) = 6/3 = 2.
- Misma pendiente desde el mismo punto Q → alineados.
- La pendiente es el test de colinealidad del cartógrafo.
Ejemplo 5 — La trampa de la vertical
¿Cuál es la pendiente de la calle que une (2, −4) con (2, 4)?
- Δx = 2 − 2 = 0 · Δy = 8.
- m = 8/0… división entre cero: m no existe.
- La calle es vertical: se describe con x = 2, sin pendiente.
- No confundir con m = 0 (calle plana, y = constante): son opuestos extremos.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Ecuaciones de la recta
Ecuaciones de la recta
El cartógrafo no entrega calles dibujadas: entrega fórmulas. La ecuación y = mx + b describe TODA la calle con dos números: m (la pendiente del tema 1.2) y b (la altura donde la calle cruza el eje y, llamada ordenada al origen). Con la fórmula, cualquier constructor sabe la altura exacta de la calle en cualquier x.
Y si los datos llegan "en bruto" (un punto y la pendiente, o dos puntos), la forma punto-pendiente y − y₁ = m(x − x₁) arma la ecuación en dos pasos. La forma general Ax + By + C = 0 es el mismo camino con otro uniforme.
En el simulador armarás calles girando m y deslizando b; en la misión, deberás dar con la fórmula que pasa por los puntos de control.
El Trazador de Caminos
Lo que el trazador te estaba mostrando
1) m y b son los dos controles de la calle. m la gira (visto en 1.2); b la sube o baja entera: es la altura del cruce con el eje y, el punto (0, b).
2) Punto-pendiente es la fábrica de ecuaciones. Con un punto (x₁, y₁) y m: y − y₁ = m(x − x₁). Despejas y, y ya tienes la pendiente-ordenada. Con dos puntos: calcula m primero (tema 1.2) y reusa la receta.
3) La forma general guarda la pendiente escondida. De Ax + By + C = 0 con B ≠ 0: m = −A/B y b = −C/B. La vertical (x = k) solo existe en forma general (B = 0).
- Identifica los datos: ¿te dan m y b? ¿un punto y m? ¿dos puntos?
- Si faltan, calcula: con dos puntos, m = Δy/Δx primero.
- Aplica punto-pendiente: y − y₁ = m(x − x₁) y despeja y.
- Verifica sustituyendo los puntos dados: deben cumplir la ecuación.
| Datos | Camino | Ecuación |
|---|---|---|
| m = 2, b = −1 | directo | y = 2x − 1 |
| m = 3, pasa por (1, 5) | y − 5 = 3(x − 1) | y = 3x + 2 |
| (1, 1) y (3, 7) | m = 6/2 = 3, luego punto-pendiente | y = 3x − 2 |
| 2x − y − 1 = 0 | m = −A/B = 2, b: despeja y → b = −1 | y = 2x − 1 |
Error a evitar: confundir b con el corte en el eje x. b vive en x = 0; el corte con el eje x está en y = 0 (x = −b/m).
El origen. En La Géométrie (1637), Descartes mostró que toda recta es una ecuación de primer grado — la idea que convirtió la geometría en álgebra. La notación y = mx + b se asentó en los textos del siglo XIX (en otros países se escribe y = mx + n o y = ax + b: la idea es la misma con otra ropa). Que "primer grado = línea recta" es la razón por la que a las ecuaciones de grado 1 las llamamos lineales.
Quién lo usa hoy y para qué. y = mx + b es probablemente la ecuación más usada del planeta:
- 📊Ciencia de datos. La regresión lineal — predecir ventas, rendimientos, temperaturas — es encontrar la m y la b que mejor ajustan los datos: el modelo más usado del mundo real.
- 💰Tarifas y costos. Taxi (banderazo + por km), electricidad (cargo fijo + por kWh), planes de celular: todos son y = mx + b con nombres comerciales.
- 🖥️Gráficos por computadora. Trazar una línea en pantalla (algoritmo de Bresenham) es evaluar la ecuación de la recta píxel a píxel, millones de veces por segundo.
- 🔬Física escolar y de laboratorio. Movimiento uniforme (x = vt + x₀), calibración de instrumentos, ley de Ohm graficada: rectas con m y b que SIGNIFICAN algo físico.
Ejemplo 1 — De m y b a la ecuación
Calle con pendiente 2 que corta el eje y en −1.
- m = 2, b = −1: directo a la plantilla.
- y = 2x − 1.
- Verifico el corte: en x = 0, y = −1 ✓.
- Verifico la pendiente: de x = 0 a x = 1, y pasa de −1 a 1: sube 2 ✓.
Ejemplo 2 — Punto-pendiente: m = 3 por (1, 5)
- y − y₁ = m(x − x₁) → y − 5 = 3(x − 1).
- y − 5 = 3x − 3.
- y = 3x + 2.
- Verifico: x = 1 → y = 5 ✓. El punto dado SIEMPRE debe cumplir la ecuación final.
Ejemplo 3 — Por dos puntos: (1, 1) y (3, 7)
- m = (7 − 1)/(3 − 1) = 6/2 = 3.
- Punto-pendiente con (1, 1): y − 1 = 3(x − 1).
- y = 3x − 2.
- Verifico con el OTRO punto: x = 3 → y = 9 − 2 = 7 ✓.
Ejemplo 4 — Leer la forma general
El registro municipal entrega la calle 3x + 2y − 6 = 0. ¿Pendiente y cortes?
- Despejo: 2y = −3x + 6 → y = −(3/2)x + 3.
- m = −3/2 (baja), b = 3: corta el eje y en (0, 3).
- Corte con eje x: y = 0 → 3x = 6 → x = 2: punto (2, 0).
- Atajo: m = −A/B = −3/2 y b = −C/B = 6/2 = 3 — coincide ✓.
Ejemplo 5 — Las calles sin pendiente-ordenada
¿Qué ecuación tiene la calle vertical que pasa por (4, −2)?
- Vertical → todos sus puntos tienen x = 4.
- Ecuación: x = 4 (forma general: x − 4 = 0, con B = 0).
- No existe versión y = mx + b: m no existe (tema 1.2).
- La horizontal por el mismo punto sería y = −2: su simétrica conceptual.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Posiciones relativas de dos rectas
Posiciones relativas de dos rectas
El urbanista de la ciudad clasifica cada par de calles en tres familias: paralelas (misma pendiente, nunca se tocan), secantes (pendientes distintas, se cruzan en UNA esquina) y, dentro de las secantes, las perpendiculares (cruce en ángulo recto: m₁·m₂ = −1). Hay un caso límite: si dos "calles" tienen misma m y misma b, son coincidentes — la misma calle con dos nombres.
No hace falta dibujar para saberlo: basta comparar pendientes. Es la magia del tema — clasificar cruces con dos multiplicaciones.
En el simulador moverás la segunda calle y verás el cruce cambiar de familia; en la misión, deberás construir la paralela o la perpendicular exacta que pasa por un control.
El Cruce de Calles
Lo que el cruce te estaba mostrando
1) Paralelismo = misma inclinación. Si además b₁ = b₂, no son dos calles: son la MISMA (coincidentes). Paralelas de verdad exigen m igual y b distinta.
2) Perpendicularidad = pendientes recíprocas y opuestas. m₂ = −1/m₁: si una sube 2 por paso, la otra baja medio por paso. El producto siempre da −1. Caso especial: horizontal (m = 0) ⊥ vertical (m no existe) — la regla del producto no aplica, pero el ángulo recto sí.
3) Las secantes comparten exactamente UN punto. Se encuentra resolviendo el sistema de las dos ecuaciones: la esquina es la solución.
- Lleva ambas rectas a y = mx + b (despeja si vienen en forma general).
- Compara pendientes: ¿m₁ = m₂? → paralelas (o coincidentes si b₁ = b₂).
- Multiplica: ¿m₁·m₂ = −1? → perpendiculares.
- Para construir la paralela/perpendicular por un punto P: toma la m que corresponda y usa punto-pendiente con P.
| Par de calles | Pendientes | Clasificación |
|---|---|---|
| y = 2x − 3 · y = 2x + 2 | 2 y 2 | paralelas |
| y = 2x − 3 · y = −x/2 + 3 | 2 y −1/2 | perpendiculares (2·(−1/2) = −1) |
| y = 2x − 3 · y = x + 1 | 2 y 1 | secantes (esquina en (4, 5)) |
| y = 2x − 3 · 4x − 2y − 6 = 0 | 2 y 2, mismo b | coincidentes: la misma calle |
Error a evitar: para la perpendicular NO basta cambiar el signo de m: hay que invertir Y cambiar signo. Perpendicular a m = 2 es −1/2, no −2.
El origen. El paralelismo obsesionó a los geómetras por 2000 años: el quinto postulado de Euclides ("por un punto exterior pasa UNA sola paralela") parecía demostrable… hasta que en el siglo XIX Gauss, Bolyai y Lobachevski descubrieron que negarlo crea geometrías nuevas y consistentes — las geometrías no euclidianas que Einstein usaría para describir el universo. La condición m₁·m₂ = −1, en cambio, es un fruto directo de las coordenadas cartesianas.
Quién lo usa hoy y para qué. Paralelas y perpendiculares sostienen el mundo construido:
- 🏗️Arquitectura e ingeniería. Muros perpendiculares al piso, vigas paralelas entre sí: los planos CAD verifican m₁·m₂ = −1 en cada esquina automáticamente.
- 🚦Urbanismo. Las cuadrículas urbanas (como las del ensanche Naco en Santo Domingo o las de Nueva York) son familias de paralelas cortadas por perpendiculares: el plano cartesiano hecho ciudad.
- 🤖Robótica y navegación. Detectar si dos trayectorias se cruzarán (secantes) o nunca (paralelas) evita colisiones: es resolver el sistema de dos rectas, miles de veces por segundo.
- 📐Computación gráfica. Los reflejos y las sombras requieren la perpendicular a cada superficie (el vector "normal"): la condición de perpendicularidad generalizada a 3D.
Ejemplo 1 — Clasificar: y = 3x − 1 y y = 3x + 4
- m₁ = 3 y m₂ = 3: iguales.
- b₁ = −1 ≠ b₂ = 4: cortes distintos.
- Paralelas: jamás se cruzan.
- Si b también coincidiera, serían la misma recta (coincidentes).
Ejemplo 2 — ¿Perpendiculares? y = 2x + 1 y y = −x/2 + 5
- m₁ = 2 · m₂ = −1/2.
- Producto: 2 · (−1/2) = −1 ✓.
- Perpendiculares: cruce a escuadra perfecta.
- Receta: invertir y cambiar signo — de 2 a −1/2.
Ejemplo 3 — La esquina de dos secantes
¿Dónde se cruzan y = 2x − 3 y y = x + 1?
- En la esquina, las alturas coinciden: 2x − 3 = x + 1.
- x = 4.
- y = 4 + 1 = 5: esquina en (4, 5).
- Verifico en la otra: 2·4 − 3 = 5 ✓.
Ejemplo 4 — La paralela por un punto
Construir la calle paralela a y = 2x − 3 que pasa por P(1, 4).
- Paralela → misma pendiente: m = 2.
- Punto-pendiente: y − 4 = 2(x − 1).
- y = 2x + 2.
- Verifico: ambas tienen m = 2, y P cumple 2·1 + 2 = 4 ✓.
Ejemplo 5 — La perpendicular por un punto
Construir la perpendicular a y = 2x que pasa por P(2, 2).
- Perpendicular → m = −1/2 (invertir y cambiar signo).
- y − 2 = −(1/2)(x − 2).
- y = −x/2 + 3.
- Producto de pendientes: 2·(−1/2) = −1 ✓. P cumple: −1 + 3 = 2 ✓.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Aplicaciones de la recta
Aplicaciones de la recta
El taxi municipal cobra un banderazo fijo al subir más una tarifa por kilómetro. El costo de un viaje de x km es y = mx + b: la b es el banderazo (lo que pagas aunque no avances) y la m es la tarifa (cuánto crece el costo por km). La recta del tema 1.3, con uniforme de trabajo.
Leer un modelo lineal es leer la realidad: b = costo inicial / valor de arranque; m = razón de cambio (positiva si crece, negativa si decrece, como el agua de un tanque que se vacía). Y resolver el modelo responde preguntas de plata: ¿cuánto costará? ¿cuándo conviene? ¿en qué punto dos planes empatan?
En el simulador manejarás la tarifa del taxi y verás el costo dibujarse; en la misión, deberás DEDUCIR la tarifa a partir de recibos reales.
El Plan de Costos
Lo que el taxímetro te estaba mostrando
1) b es el arranque, m es el ritmo. En el taxi: banderazo y tarifa. En un tanque que se vacía: agua inicial y litros perdidos por minuto (m negativa). En un plan de ahorro: monto inicial y depósito mensual.
2) Deducir el modelo es geometría analítica pura. ¿Un recibo y el banderazo? m = (costo − b)/km. ¿Dos recibos? son dos puntos: m = Δcosto/Δkm y luego b. Exactamente los temas 1.2 y 1.3, con dinero.
3) Comparar planes = buscar el cruce. Dos tarifas empatan donde sus rectas se cortan (tema 1.4): antes conviene una, después la otra. El punto de equilibrio es una intersección.
- Identifica b: ¿qué se paga/tiene cuando x = 0?
- Identifica m: ¿cuánto cambia y por cada unidad de x? (signo incluido).
- Escribe y úsalo: y = mx + b; evalúa o despeja según la pregunta.
- Interpreta: la respuesta numérica debe tener sentido (¡y unidades!).
| Situación | Modelo | Lectura |
|---|---|---|
| Taxi: banderazo 5, 3 pesos/km | y = 3x + 5 | 17 pesos por 4 km |
| Tanque: 40 L, pierde 4 L/min | y = −4x + 40 | vacío en x = 10 min |
| Ahorro: 20 pesos + 15 pesos/semana | y = 15x + 20 | 95 pesos en 5 semanas |
| Internet: 50 pesos fijos + 2 pesos/GB | y = 2x + 50 | 70 pesos por 10 GB |
Error a evitar: confundir m con b al leer el enunciado. "Cobra 3 por km y 5 por subir": el "por km" SIEMPRE es m; el pago único es b.
El origen. Usar rectas para describir el mundo despegó con la física del siglo XVII (Galileo y el movimiento uniforme: distancia = velocidad·tiempo + posición inicial — ¡un y = mx + b!). En el siglo XIX, Legendre y Gauss inventaron los mínimos cuadrados: cómo encontrar la MEJOR recta cuando los datos no se alinean perfectamente. Esa idea, nacida para predecir órbitas de cometas, es hoy la base de la estadística y del aprendizaje automático.
Quién lo usa hoy y para qué. Los modelos lineales corren el mundo:
- 🚕Tarifas reales. Taxis, apps de transporte, electricidad, agua, internet: millones de facturas diarias se calculan con y = mx + b. Leer tu recibo es leer una recta.
- 📈Economía y negocios. Punto de equilibrio (costos = ingresos), depreciación lineal de maquinaria, proyecciones de ventas: decisiones de millones tomadas comparando rectas.
- 🤖Aprendizaje automático. La regresión lineal es el primer modelo que aprende todo científico de datos — y dentro de cada red neuronal hay millones de operaciones mx + b.
- 🌡️Ciencia y conversiones. °F = 1.8·°C + 32 es una recta con m = 1.8 y b = 32: la conversión de temperaturas que usas sin saberlo cada vez que viajas.
Ejemplo 1 — Leer la tarifa y evaluar
Banderazo 5 pesos, tarifa 3 pesos/km. ¿Costo de 7 km?
- b = 5 (pago fijo), m = 3 (por km): y = 3x + 5.
- y(7) = 21 + 5 = 26 pesos.
- Verifico la lectura: 7 km a 3 pesos son 21, más el banderazo 5: 26 ✓.
Ejemplo 2 — Deducir m con un recibo y el banderazo
Un viaje de 4 km costó 17 pesos y el banderazo es 5. ¿Tarifa por km?
- 17 = m·4 + 5.
- m·4 = 12 → m = 3 pesos/km.
- Es despejar la pendiente: m = (y − b)/x.
- El recibo es un punto (4, 17) de la recta.
Ejemplo 3 — Deducir TODO con dos recibos
2 km costaron 9 pesos; 6 km costaron 21 pesos. ¿Tarifa completa?
- Dos puntos: (2, 9) y (6, 21).
- m = (21 − 9)/(6 − 2) = 12/4 = 3.
- b = 9 − 3·2 = 3 → y = 3x + 3.
- Verifico con el segundo: 3·6 + 3 = 21 ✓. Tema 1.3 con recibos.
Ejemplo 4 — ¿Qué empresa conviene?
Taxi A: y = 3x + 5. Taxi B: y = 2x + 9. ¿Cuándo empatan?
- Empate: 3x + 5 = 2x + 9.
- x = 4 km; costo común y = 17 pesos.
- Viajes CORTOS (x < 4): conviene A (banderazo menor).
- Viajes LARGOS (x > 4): conviene B (tarifa por km menor). El cruce de 1.4 decide la billetera.
Ejemplo 5 — Pendiente negativa: el tanque
Un tanque tiene 40 L y pierde 4 L por minuto. ¿Cuándo queda vacío?
- b = 40 (inicio), m = −4 (pierde): y = −4x + 40.
- Vacío: y = 0 → 4x = 40 → x = 10 minutos.
- El corte con el eje x (la raíz) responde "¿cuándo se acaba?".
- m negativa = el modelo DECRECE: tan lineal como el taxi.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Responde una a una: cada respuesta se marca en verde o rojo. Necesitas 80% para aprobar. Pulsa Reintentar para barajar.