Origen y desarrollo de la trigonometria
Origen y desarrollo de la trigonometria
Nadie subio una cinta metrica a la cima de la piramide ni a lo alto de la loma Isabel de Torres. Sin embargo, hace miles de anos ya se sabia su altura. El secreto: a la misma hora del dia, una vara clavada en el suelo y un monumento proyectan sombras, y los dos triangulos que forman (objeto + sombra) son semejantes. La razon altura/sombra es la misma para los dos.
Esa es la idea madre de la trigonometria: en triangulos semejantes, la razon entre dos lados NO cambia con el tamano. Si la vara mide 2 m y su sombra 3 m, cualquier objeto a esa hora cumple altura/sombra = 2/3. Mides la sombra del monumento y despejas su altura. La herramienta es una sola, viaje por los siglos que viaje.
En el simulador compararas la vara y el monumento con sus sombras; en la mision deberas DEDUCIR la altura del monumento a partir de la razon, con la altura oculta.
El gabinete del agrimensor antiguo
La razon que no envejece
1) Semejanza = misma razon. Dos triangulos rectangulos con el mismo angulo son semejantes: sus lados crecen juntos, asi que la razon entre dos de ellos es identica. La trigonometria entera vive de esto.
2) Medir lo inaccesible. Egipto media las crecidas del Nilo y las piramides; Hiparco (siglo II a.C.) tabulo cuerdas del circulo, la primera tabla trigonometrica; hoy el teodolito hace lo mismo con la loma. Misma idea, distinta maquina.
3) El metodo de las sombras. A la misma hora todos los objetos verticales comparten la razon altura/sombra. Mides la sombra del gigante y, con la razon de tu vara, despejas su altura: altura = razon x sombra.
- Calcula la razon de la vara: r = altura de la vara / sombra de la vara.
- Mide la sombra del monumento a la MISMA hora (los rayos del sol llegan paralelos).
- Despeja la altura: altura del monumento = r x sombra del monumento.
- Interpreta: el resultado es una altura en metros, siempre positiva.
| Vara | Razon | Monumento (sombra) | Altura |
|---|---|---|---|
| 2 m, sombra 3 m | 2/3 | 12 m | 8 m |
| 2 m, sombra 5 m | 2/5 | 30 m | 12 m |
| 3 m, sombra 2 m | 3/2 | 10 m | 15 m |
| 2 m, sombra 4 m | 1/2 | 18 m | 9 m |
Error a evitar: creer que la razon cambia si el triangulo es mas grande. La sombra del monumento es enorme comparada con la de la vara, pero la razon altura/sombra es exactamente la misma: en eso se apoya todo el metodo.
El origen. La trigonometria nacio para medir lo inaccesible. Los egipcios usaban la sombra para reconstruir linderos tras las crecidas del Nilo y se cuenta que Tales midio la piramide por su sombra. El griego Hiparco de Nicea (siglo II a.C.), considerado el padre de la trigonometria, construyo la primera tabla de cuerdas del circulo. Siglos despues, los astronomos indios y arabes introdujeron el seno tal como lo usamos, y la palabra "seno" llego por una cadena de traducciones del sanscrito al arabe y al latin.
Quien la usa hoy y para que. La misma idea de razones y semejanza:
- 📐Topografia y construccion. El teodolito mide angulos para calcular alturas y distancias inaccesibles: lomas, torres, puentes. Cada obra civil en Republica Dominicana empieza con un levantamiento topografico.
- 🛰️GPS y navegacion. Localizar un punto cruza distancias y angulos a satelites: trigonometria esferica en tu telefono.
- 🌊Astronomia. Hiparco estimo la distancia a la Luna con angulos; hoy se mide la distancia a estrellas por paralaje, el mismo metodo de triangulos.
- 🎮Graficos y videojuegos. Rotar, proyectar e iluminar objetos en pantalla son operaciones con senos y cosenos millones de veces por segundo.
Ejemplo 1 — Razon de la vara y altura del obelisco
Vara de 2 m con sombra 3 m. El obelisco proyecta sombra de 12 m. Altura?
- Razon de la vara: r = 2/3.
- Altura = r x sombra = (2/3)(12) = 24/3 = 8 m.
- Verifico: 8/12 = 2/3, la misma razon ✓.
Ejemplo 2 — Faro a Colon
Vara de 2 m con sombra 5 m. El faro da sombra de 30 m. Altura?
- Razon: r = 2/5.
- Altura = (2/5)(30) = 60/5 = 12 m.
- El triangulo del faro es enorme, pero su razon sigue siendo 2/5.
Ejemplo 3 — Invertir el problema
El campanario mide 15 m y su sombra es 10 m. Cuanto mide la sombra de una vara de 3 m a la misma hora?
- Razon del campanario: r = 15/10 = 3/2.
- Para la vara: 3/sombra = 3/2 -> sombra = 3 / (3/2) = 2 m.
- La razon altura/sombra es comun a TODOS los objetos verticales.
Ejemplo 4 — La loma por su sombra
Vara de 2 m con sombra 4 m. La estacion baja proyecta sombra de 18 m. Altura?
- Razon: r = 2/4 = 1/2.
- Altura = (1/2)(18) = 9 m.
- Hiparco habria usado su tabla de cuerdas; el agrimensor dominicano usa la misma proporcion.
Ejemplo 5 — Por que no cambia la razon
Vara de 3 m con sombra 2 m. El poste de luz da sombra de 10 m. Altura?
- Razon de la vara: r = 3/2.
- Altura = (3/2)(10) = 15 m.
- Los triangulos vara-sombra y poste-sombra son semejantes: mismo angulo del sol, misma razon, aunque el poste sea cinco veces mayor que la vara.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Angulos
Angulos
El tambor del teleferico enrolla el cable girando. Cada giro barre un angulo: si gira contra el reloj, el angulo es positivo y la cabina sube; si gira a favor del reloj, es negativo y baja. Y el tambor puede dar mas de una vuelta: 360 grados, 720, o quedarse a medio camino.
En trigonometria el angulo vive en posicion normal: su lado inicial sobre el eje x positivo y el vertice en el origen. El lado final es donde apunta el radio tras girar. Lo interesante: el tambor no distingue 45 grados de 405 grados (una vuelta mas 45). Terminan en el mismo lado final. Esos angulos se llaman coterminales: difieren en vueltas completas.
En el simulador giraras el tambor mas de una vuelta y en ambos sentidos; en la mision deberas reducir cualquier giro a su coterminal entre 0 y 360 grados, con el lado final oculto.
El tambor del teleferico
El angulo como recorrido, no como esquina
1) Posicion normal. Lado inicial sobre el eje x positivo, vertice en el origen. El lado final marca el angulo. Asi todos los angulos se comparan en el mismo tablero.
2) Signo = sentido. Positivo es CONTRA el reloj (antihorario); negativo es A FAVOR del reloj. El tambor que sube gira positivo; el que baja, negativo.
3) Coterminales. Dos angulos que difieren en vueltas completas (multiplos de 360 grados) terminan en el mismo lado final. Para hallar el coterminal en [0, 360): resta 360 si pasa de 360, suma 360 si es negativo, repitiendo si hace falta.
- Mira el signo y el tamano: si esta entre 0 y 360, ya es su propio coterminal.
- Si pasa de 360: resta 360 las veces necesarias (una resta puede no bastar si supera 720).
- Si es negativo: suma 360 las veces necesarias hasta quedar entre 0 y 360.
- Verifica: el resultado debe cumplir 0 <= coterminal < 360.
| Giro | Operacion | Coterminal |
|---|---|---|
| 405 grados | 405 - 360 | 45 grados |
| 750 grados | 750 - 360 - 360 | 30 grados |
| -60 grados | -60 + 360 | 300 grados |
| -150 grados | -150 + 360 | 210 grados |
Error a evitar: confundir coterminal con suplementario y restar 180 grados. El coterminal SIEMPRE usa multiplos de 360, porque lo que se descuenta son vueltas completas, no medias vueltas.
El origen. Por que 360 grados en una vuelta? La herencia viene de los babilonios, que usaban un sistema sexagesimal (base 60) y dividian el ano en unos 360 dias; el circulo heredo esa division. Mucho despues, la idea de medir el angulo como un giro orientado (positivo y negativo, con vueltas completas) se volvio central para describir el movimiento circular y las ondas, donde un ciclo se repite una y otra vez.
Quien lo usa hoy y para que. El angulo como giro esta en todas partes:
- ⚙️Maquinas rotativas. Motores, turbinas, tambores de teleferico y poleas se describen por el angulo girado y las revoluciones por minuto (RPM): vueltas completas que se acumulan.
- 🧭Navegacion. Los rumbos se miden en grados de 0 a 360; un rumbo de 405 no existe: se reduce a 45, su coterminal.
- 🎡Movimiento circular. Una rueda de la fortuna o un ventilador repiten su posicion cada 360 grados: los coterminales describen el ciclo.
- 📡Ondas y senales. La fase de una senal de radio o de sonido se mide en grados y se repite cada ciclo: el coterminal es su posicion dentro del ciclo.
Ejemplo 1 — Mas de una vuelta
Halla el coterminal de 405 grados entre 0 y 360.
- 405 pasa de 360: resto una vuelta.
- 405 - 360 = 45 grados.
- 45 esta entre 0 y 360: listo.
Ejemplo 2 — Dos vueltas
Coterminal de 750 grados.
- 750 - 360 = 390, todavia pasa de 360.
- 390 - 360 = 30 grados.
- Una sola resta no bastaba: habia que restar dos veces.
Ejemplo 3 — Giro negativo
Coterminal de -60 grados.
- Es negativo: sumo una vuelta.
- -60 + 360 = 300 grados.
- El tambor giro a favor del reloj 60 grados: equivale a 300 contra el reloj.
Ejemplo 4 — La cabina que baja
El tambor giro -150 grados al bajar la cabina. Coterminal positivo?
- -150 + 360 = 210 grados.
- Bajar 150 a favor del reloj termina igual que subir 210 contra el reloj.
- El lado final es el mismo punto del tambor.
Ejemplo 5 — Coterminal vs suplementario
Coterminal de 480 grados (sin confundir con restar 180).
- Coterminal: 480 - 360 = 120 grados.
- Si restara 180 (error) daria 300: ese NO es coterminal de 480.
- Verifico: 120 + 360 = 480, una vuelta exacta ✓.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Sistemas de medida de angulos
Sistemas de medida de angulos
El tambor del teleferico lleva dos escalas: por fuera, grados (de 0 a 360); por dentro, radianes. El radian no es un capricho: mide el angulo usando el propio radio del tambor. Cuando el cable enrolla una longitud igual al radio, el tambor ha barrido exactamente 1 radian. Una vuelta completa enrolla 2 pi radios de cable: por eso 360 grados = 2 pi radianes, y 180 grados = pi radianes.
Convertir entre los dos idiomas es una regla de tres con pi: si 180 grados equivalen a pi radianes, entonces para pasar de grados a radianes multiplicas por pi/180; para volver, por 180/pi. Y la longitud de cable enrollado (el arco) sale de una formula directa: s = r por theta, con theta en radianes.
En el simulador leeras las dos escalas y calcularas el cable enrollado; en la mision deberas convertir o hallar el arco, con las escalas ocultas.
Las dos escalas del tambor
El radian: medir con el radio
1) Que es un radian. Es el angulo cuyo arco mide lo mismo que el radio. Una vuelta tiene 2 pi radios de arco, asi que 360 grados = 2 pi rad y 180 grados = pi rad.
2) Convertir. De grados a radianes: multiplica por pi/180 y SIMPLIFICA la fraccion de pi. De radianes a grados: multiplica por 180/pi. El error tipico es invertir el factor.
3) Longitud de arco. El cable enrollado es s = r por theta, pero theta DEBE estar en radianes. Si usas grados, el resultado no tiene sentido fisico.
- Grados a radianes: multiplica por pi/180 y simplifica (ej.: 60 (pi/180) = pi/3).
- Radianes a grados: multiplica por 180/pi (ej.: 3pi/2 (180/pi) = 270 grados).
- Arco: pasa theta a radianes y aplica s = r por theta.
- Verifica: una vuelta = 2 pi rad = 360 grados; media vuelta = pi rad = 180 grados.
| Grados | Radianes | Comentario |
|---|---|---|
| 30 grados | pi/6 | 30 (pi/180), simplificado |
| 60 grados | pi/3 | un sexto de vuelta |
| 135 grados | 3pi/4 | 135 (pi/180) |
| 270 grados | 3pi/2 | tres cuartos de vuelta |
Error a evitar: usar el factor invertido. De GRADOS a radianes se multiplica por pi/180 (achica el numero); de RADIANES a grados, por 180/pi. Si tu resultado en radianes es enorme, invertiste el factor.
El origen. El radian como unidad fue formalizado en el siglo XIX; el termino "radian" aparecio impreso por primera vez en 1873 gracias a James Thomson (hermano de Lord Kelvin). La idea de medir angulos con el radio, sin embargo, es mucho mas antigua y profunda: hace que las formulas del calculo y la fisica salgan limpias, sin factores extra. Por eso, mas alla de la escuela, casi toda la ciencia mide en radianes.
Quien lo usa hoy y para que. Dos escalas para dos mundos:
- 🧮Calculo y fisica. Las derivadas de seno y coseno solo son limpias en radianes; toda la fisica de ondas, oscilaciones y rotaciones mide asi.
- ⚙️Ingenieria mecanica. La velocidad angular se da en radianes por segundo; el cable que enrolla un tambor se calcula con s = r por theta.
- 🧭Topografia y dia a dia. Los grados siguen reinando en mapas, brujulas y planos por ser mas intuitivos para las personas.
- 💻Programacion. Las funciones trigonometricas de casi todos los lenguajes (Math.sin, Math.cos) esperan el angulo en radianes.
Ejemplo 1 — Grados a radianes
Convierte 60 grados a radianes.
- Multiplico por pi/180: 60 (pi/180) = 60pi/180.
- Simplifico: 60/180 = 1/3 -> pi/3 rad.
- Verifico: pi/3 es un sexto de 2pi, igual que 60 es un sexto de 360 ✓.
Ejemplo 2 — Otro angulo notable
Convierte 135 grados a radianes.
- 135 (pi/180) = 135pi/180.
- 135/180 = 3/4 -> 3pi/4 rad.
- Siempre simplifica la fraccion de pi.
Ejemplo 3 — Radianes a grados
Convierte pi/6 rad a grados.
- Multiplico por 180/pi: (pi/6)(180/pi).
- Se cancela pi: 180/6 = 30 grados.
- Aqui el factor es 180/pi, no pi/180.
Ejemplo 4 — Cable enrollado
El tambor tiene radio 10 m y gira 90 grados. Cuanto cable enrolla?
- Paso 90 a radianes: 90 (pi/180) = pi/2.
- Arco s = r por theta = 10 (pi/2) = 5 pi m (unos 15.71 m).
- Si hubiera usado 90 en la formula, el resultado seria absurdo: theta va en radianes.
Ejemplo 5 — Tres cuartos de vuelta
Convierte 3pi/2 rad a grados.
- (3pi/2)(180/pi) = 3 (180)/2.
- = 540/2 = 270 grados.
- Coincide: 3pi/2 son tres cuartos de 2pi, y 270 son tres cuartos de 360 ✓.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Razones trigonometricas en un triangulo rectangulo
Razones trigonometricas en un triangulo rectangulo
La base de la loma, la cima y el cable del teleferico forman un triangulo rectangulo. El angulo de subida es el angulo en la base; el cable es la hipotenusa; la altura ganada es el lado opuesto al angulo; la distancia horizontal es el lado adyacente. Con solo el angulo y un lado, la trigonometria entrega los demas.
Las tres razones basicas se recuerdan con SOH-CAH-TOA: Seno = Opuesto/Hipotenusa, Coseno = Adyacente/Hipotenusa, Tangente = Opuesto/Adyacente. Lo asombroso: estas razones dependen SOLO del angulo, no del tamano del triangulo. Un teleferico de juguete y el real, con el mismo angulo de subida, dan exactamente el mismo seno. Esa es la semejanza del tema 10.1, ahora con nombres propios.
En el simulador fijaras el angulo y veras las tres razones; en la mision deberas ELEGIR la razon correcta y calcular un lado, con las razones ocultas.
El triangulo del cable
Tres razones, un solo angulo
1) Quien es quien. La hipotenusa es el lado mas largo, frente al angulo recto. El opuesto esta frente al angulo que miras; el adyacente, pegado a el (sin ser la hipotenusa).
2) SOH-CAH-TOA. Seno-Opuesto-Hipotenusa, Coseno-Adyacente-Hipotenusa, Tangente-Opuesto-Adyacente. Es la regla para elegir la razon correcta segun los lados que conoces y el que buscas.
3) Depende solo del angulo. Triangulos semejantes (mismo angulo) tienen las mismas razones, aunque sean de distinto tamano. Por eso una tabla de senos sirve para cualquier triangulo con ese angulo.
- Marca los lados: hipotenusa (la mas larga), opuesto (frente al angulo) y adyacente.
- Mira que tienes y que buscas: elige la razon que los relaciona (SOH-CAH-TOA).
- Plantea y despeja: ej.: sen = op/hip; si buscas el opuesto, op = hip por sen.
- Verifica: el lado hallado debe ser coherente (menor que la hipotenusa).
| Triangulo | sen | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 3-4-5 | 3/5 = 0.6 | 4/5 = 0.8 | 3/4 = 0.75 |
| 6-8-10 | 6/10 = 0.6 | 8/10 = 0.8 | 6/8 = 0.75 |
| 5-12-13 | 5/13 | 12/13 | 5/12 |
| 8-15-17 | 8/17 | 15/17 | 8/15 |
Error a evitar: elegir coseno para el opuesto. El coseno usa el ADYACENTE. Si buscas el lado FRENTE al angulo con la hipotenusa, es seno (SOH). Confundir la razon es el error mas comun del tema.
El origen. Las razones trigonometricas como las usamos hoy maduraron con los matematicos de la India (Aryabhata, siglo V-VI) y del mundo arabe medieval, que perfeccionaron las tablas de senos heredadas de los griegos. La palabra "seno" viene de un malentendido de traduccion: el termino sanscrito para la semicuerda paso al arabe y de ahi al latin "sinus" (pliegue o bahia). Los nombres seno, coseno y tangente se estandarizaron en Europa entre los siglos XVI y XVII.
Quien las usa hoy y para que. SOH-CAH-TOA esta en todas partes:
- 🏗️Construccion. Calcular la altura de una rampa, la inclinacion de un techo o la longitud de una escalera apoyada usa seno, coseno y tangente a diario.
- 📐Topografia. El teodolito mide angulos y con la tangente calcula alturas y distancias inaccesibles, como la loma Isabel de Torres.
- 🎮Videojuegos y animacion. Mover y rotar personajes en pantalla descompone trayectorias en seno y coseno millones de veces por segundo.
- 🌉Ingenieria. Las fuerzas en cables, puentes y estructuras se descomponen en componentes con estas razones.
Ejemplo 1 — Calcular el seno
Triangulo 3-4-5. Seno del angulo cuyo opuesto es 3?
- sen = opuesto/hipotenusa = 3/5.
- = 0.6.
- El coseno seria 4/5 = 0.8 y la tangente 3/4 = 0.75.
Ejemplo 2 — Tangente con otra terna
Triangulo 5-12-13. Tangente del angulo (opuesto 5, adyacente 12)?
- tan = opuesto/adyacente = 5/12.
- No se simplifica: 5/12.
- La hipotenusa 13 no entra en la tangente.
Ejemplo 3 — Hallar un lado con el seno
Hipotenusa 10, sen del angulo = 0.6. Lado opuesto?
- sen = op/hip -> op = hip por sen.
- op = 10 (0.6) = 6.
- Es el triangulo 6-8-10: coherente con 3-4-5 al doble.
Ejemplo 4 — La altura del cable
El cable (hipotenusa) mide 13 m y el coseno del angulo es 12/13. La base (adyacente)?
- cos = ady/hip -> ady = hip por cos.
- ady = 13 (12/13) = 12 m.
- Es el triangulo 5-12-13: la altura seria 5 m.
Ejemplo 5 — La razon no cambia con el tamano
Triangulos 3-4-5 y 9-12-15 (el triple). Tangente del mismo angulo?
- 3-4-5: tan = 3/4 = 0.75.
- 9-12-15: tan = 9/12 = 0.75: la misma.
- Mismo angulo -> triangulos semejantes -> misma razon.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Angulos de elevacion y de depresion
Angulos de elevacion y de depresion
El tecnico planta su teodolito en la base y apunta a la cima de la loma. La linea horizontal de su vista y la linea hacia la cima forman el angulo de elevacion. Con ese angulo y la distancia horizontal a la base, la tangente entrega la altura: la loma queda medida sin que nadie suba.
Desde lo alto, en cambio, un pasajero de la cabina mira hacia abajo: su linea horizontal y la linea hacia el objeto forman el angulo de depresion. Y aqui aparece una joya de la geometria: entre dos observadores que se miran, el angulo de elevacion de uno y el de depresion del otro son alternos internos entre rectas paralelas (las dos horizontales): son iguales. No hay que calcular dos veces.
En el simulador mediras alturas y distancias con la tangente; en la mision deberas calcular la altura o la distancia pedida, con el teodolito oculto.
La medicion de la loma
La tangente que mide lo alto
1) Elevacion sube, depresion baja. El angulo de elevacion se mide desde la horizontal HACIA ARRIBA; el de depresion, desde la horizontal HACIA ABAJO. Ambos parten de la linea horizontal del observador.
2) La tangente es la clave. Cuando tienes la distancia horizontal (el adyacente) y buscas la altura (el opuesto), la razon es la tangente: altura = distancia por tan(angulo).
3) Alternos internos. Entre dos observadores que se miran, las dos horizontales son paralelas; la elevacion de uno y la depresion del otro son alternos internos: iguales. Asi un solo angulo sirve para los dos.
- Dibuja el triangulo: horizontal (distancia), vertical (altura) y linea de vision.
- Identifica el angulo: elevacion (mirando arriba) o depresion (mirando abajo).
- Usa la tangente: altura = distancia por tan; o distancia = altura / tan.
- Alternos internos: si dos se miran, elevacion = depresion; no recalcules.
| Distancia | tan(elevacion) | Altura |
|---|---|---|
| 24 m | 3/4 | 18 m |
| 24 m | 5/12 | 10 m |
| 16 m | 3/4 | 12 m |
| 15 m | 8/15 | 8 m |
Error a evitar: confundir elevacion con depresion, o usar seno/coseno cuando tienes la distancia horizontal. Con el adyacente (distancia) y el opuesto (altura) la razon es la TANGENTE, no el seno.
El origen. Medir alturas y distancias inaccesibles con angulos es una de las aplicaciones mas antiguas de la trigonometria. Los griegos (Eratostenes midio el tamano de la Tierra con sombras y angulos en el siglo III a.C.) y los navegantes que calculaban la altura de las estrellas sobre el horizonte usaban exactamente la idea de elevacion. El teodolito, instrumento que mide angulos horizontales y verticales con precision, se perfecciono entre los siglos XVI y XVIII y sigue siendo el corazon de la topografia.
Quien lo usa hoy y para que. Elevacion, depresion y tangente trabajan a diario:
- 📐Topografia. Medir la altura de lomas, torres y edificios sin escalarlos: angulo de elevacion mas distancia, y la tangente da la altura.
- ✈️Aviacion. El angulo de descenso de un avion hacia la pista es un angulo de depresion; las cartas de aproximacion se calculan con tangentes.
- 🚢Navegacion. Medir la altura de un faro sobre el horizonte ayuda a estimar la distancia a la costa.
- 🏔️Turismo y geografia. La altura de la loma Isabel de Torres (unos 800 m) y de otros accidentes se levanta con estos metodos.
Ejemplo 1 — Altura con la tangente
El tecnico esta a 24 m del pie de la loma; tan(elevacion) = 3/4. Altura?
- Tengo la distancia (adyacente) y busco la altura (opuesto): uso tangente.
- altura = distancia por tan = 24 (3/4).
- = 18 m.
Ejemplo 2 — Otra tangente
A 24 m del pie, tan(elevacion) = 5/12. Altura?
- altura = 24 (5/12).
- = 120/12 = 10 m.
- Menor tangente, menor altura: el angulo es mas pequeno.
Ejemplo 3 — Hallar la distancia
La loma mide 8 m y tan(elevacion) = 8/15. A que distancia esta el observador?
- altura = distancia por tan -> distancia = altura / tan.
- distancia = 8 / (8/15) = 8 (15/8) = 15 m.
- Dividir entre una fraccion es multiplicar por su inverso.
Ejemplo 4 — Alternos internos
El pasajero de la cabina ve el malecon con un angulo de depresion de 30 grados. Con que angulo de elevacion ve el bañista a la cabina?
- Las dos horizontales (cabina y bañista) son paralelas.
- Depresion y elevacion son alternos internos: 30 grados.
- No hay que calcular nada: son iguales por geometria.
Ejemplo 5 — Mover al observador
A 16 m del pie, tan(elevacion) = 3/4. Altura? Y si se acerca, cambia la altura de la loma?
- altura = 16 (3/4) = 12 m.
- Al acercarse, el ANGULO crece, pero la altura de la loma es la misma.
- La altura es un hecho fisico; el angulo depende de donde mires.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Responde una a una: cada respuesta se marca en verde o rojo. Necesitas 80% para aprobar. Pulsa Reintentar para barajar.