Concepto, elementos y construcción
Concepto, elementos y construcción
Para trazar la glorieta del malecón, el maestro de obra clava una estaca en la arena, ata una cuerda y camina con ella tensa marcando el borde. Cada punto del borde tira de la misma cuerda: esa distancia constante al centro es el radio. La circunferencia es justo eso, el conjunto de los puntos que equidistan del centro — la línea del borde, no la arena que encierra.
Sobre esa línea viven sus elementos: el radio (del centro al borde), la cuerda (segmento entre dos puntos del borde), el diámetro (la cuerda que pasa por el centro, la más larga) y el arco (un tramo del borde). El círculo, en cambio, es la región que la circunferencia encierra: el piso, no el barandal.
En el simulador trazarás la planta con la cuerda y medirás sus elementos; descubrirás que toda cuerda que pasa por el centro mide exactamente el doble del radio: el diámetro.
El compás del maestro de obra
Lo que la cuerda te estaba mostrando
1) Circunferencia vs. círculo. La circunferencia es la LÍNEA (el conjunto de puntos a distancia r del centro); el círculo es la REGIÓN que encierra. El barandal es circunferencia; el piso es círculo.
2) Los cuatro elementos. Radio: del centro al borde. Cuerda: entre dos puntos del borde. Diámetro: la cuerda que pasa por el centro — la cuerda MÁXIMA. Arco: un tramo del borde.
3) Diámetro = 2·radio. El diámetro son dos radios alineados pasando por el centro: d = 2r, y por tanto r = d/2. Es la relación que la cuerda tensa hace evidente.
- Ubica el centro (la estaca) y mide el radio: del centro a cualquier punto del borde.
- Identifica la cuerda: une dos puntos del borde; si pasa por el centro, es el diámetro.
- Aplica la relación: diámetro = 2·radio; radio = diámetro/2.
- Distingue arco de cuerda: el arco es curvo (tramo del borde); la cuerda es recta.
| Elemento | Qué es | Medida |
|---|---|---|
| Radio (r) | centro → borde | r |
| Diámetro (d) | cuerda por el centro | 2r |
| Cuerda | borde → borde | menor o igual que 2r |
| Arco | tramo del borde | se mide a lo curvo |
Error a evitar: confundir circunferencia (la línea del borde) con círculo (la región que encierra). El barandal de la glorieta es circunferencia; el piso de adentro es círculo.
El origen. El compás es una de las herramientas más antiguas de la geometría: ya los babilonios y egipcios trazaban círculos con cuerda y estaca para fundar templos y campos. Euclides, hacia el 300 a.C., definió la circunferencia en sus Elementos exactamente como hoy: los puntos que equidistan de un centro. La palabra "radio" viene del latín radius (rayo o varilla), porque el radio sale del centro como un rayo de luz.
Quién lo usa hoy y para qué. La circunferencia está en todas partes:
- 🏗️Construcción real. Glorietas, fuentes, plazas circulares y rotondas se replantean con cuerda y estaca, igual que en el malecón de Puerto Plata.
- 🛞Ruedas y engranajes. Toda rueda es una circunferencia; el radio constante es lo que hace que ruede sin saltos.
- 🛰️GPS y órbitas. Localizar un punto cruza circunferencias de distancia constante a cada satélite; donde se cortan, estás tú.
- 🍕Comercio diario. Una pizza "de 12 pulgadas" se vende por su diámetro; el radio es la mitad, y de ahí sale toda su medida.
Ejemplo 1 — Del radio al diámetro
La planta tiene radio 6 m. ¿Cuál es el diámetro?
- d = 2·r.
- d = 2·6 = 12 m.
- El diámetro es la cuerda que pasa por el centro: dos radios alineados.
Ejemplo 2 — Del diámetro al radio
El diámetro de la fuente es 14 m. ¿Cuál es el radio?
- r = d/2.
- r = 14/2 = 7 m.
- La cuerda atada a la estaca debe medir 7 m para trazar esa fuente.
Ejemplo 3 — Cuerda y diámetro
En una glorieta de radio 5 m, ¿cuánto mide la cuerda más larga posible?
- La cuerda máxima es el diámetro.
- d = 2·5 = 10 m.
- Ninguna otra cuerda supera al diámetro: por eso es la mayor.
Ejemplo 4 — La cuerda del trazado
El maestro quiere una glorieta de 16 m de diámetro. ¿De qué largo corta la cuerda?
- La cuerda del trazado es el radio.
- r = d/2 = 16/2 = 8 m.
- Ata 8 m de cuerda a la estaca y camina: el borde sale de 16 m de ancho.
Ejemplo 5 — Circunferencia o círculo
El barandal rodea el borde; el piso lo cubre por dentro. ¿Cuál es circunferencia?
- Circunferencia = la línea del borde.
- El barandal sigue la circunferencia (la línea).
- El piso cubre el círculo (la región interior).
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Tangentes y posiciones relativas de dos circunferencias
Tangentes y posiciones relativas de dos circunferencias
La rampa de acceso a la glorieta es una recta que se acerca al borde circular. Si lo cruza, entra y sale: es secante (toca en dos puntos). Si lo besa en un solo punto, es tangente. Si no llega, es exterior. En el punto de tangencia ocurre algo elegante: el radio es perpendicular a la rampa — un ángulo recto exacto.
Lo mismo pasa con dos circunferencias, como los dos anillos de la fuente. Su posición se decide comparando la distancia entre sus centros (d) con la suma de sus radios (R+r) y con la diferencia (R−r): exteriores, tangentes, secantes, interiores o concéntricas.
En el simulador deslizarás la distancia entre centros y verás el panel escribir la comparación que decide cada posición.
La rampa y los anillos
La distancia que decide la posición
1) Recta y circunferencia. Una recta puede ser secante (la corta en dos puntos), tangente (la toca en uno) o exterior (no la toca). En la tangente, el radio al punto de contacto es PERPENDICULAR a la recta.
2) Dos circunferencias: compara d con R+r y R−r. Si d > R+r están separadas (exteriores); si d = R+r se besan por fuera; si está entre R−r y R+r se cruzan (secantes); si d = R−r se besan por dentro; si d < R−r una está dentro de la otra (interiores); si d = 0 son concéntricas.
3) No basta una comparación. Mirar solo R+r confunde interiores con secantes. Hay que comparar TAMBIÉN con R−r.
- Calcula R+r y R−r con los dos radios (R el mayor).
- Mide d, la distancia entre los centros.
- Compara: ¿d mayor, igual o menor que R+r? ¿Y respecto a R−r?
- Nombra la posición según el tramo donde cae d.
| Comparación | Posición | Puntos comunes |
|---|---|---|
| d > R+r | Exteriores | 0 |
| d = R+r | Tangentes exteriores | 1 |
| R−r < d < R+r | Secantes | 2 |
| d = R−r | Tangentes interiores | 1 |
| d < R−r | Interiores (d = 0: concéntricas) | 0 |
Error a evitar: comparar d solo con R+r y olvidar R−r. Sin la diferencia no puedes distinguir interiores de exteriores: ambas no se tocan, pero por razones opuestas.
El origen. El estudio de las tangentes nace con los griegos: Apolonio de Perga (siglo III a.C.), apodado "el Gran Geómetra", dedicó libros enteros a las circunferencias tangentes en su obra sobre las cónicas. El célebre Problema de Apolonio —trazar una circunferencia tangente a otras tres— ocupó a matemáticos durante dos mil años, hasta Descartes y Newton.
Quién lo usa hoy y para qué. Las posiciones relativas y las tangentes están en la ingeniería diaria:
- ⚙️Engranajes y poleas. Dos ruedas dentadas que encajan son tangentes exteriores; la distancia entre ejes es exactamente R+r.
- 🛣️Curvas de carreteras. Las rampas y curvas se diseñan tangentes a los tramos rectos para que el volante no dé saltos bruscos.
- 📡Cobertura de señal. El alcance de dos antenas se modela con círculos: si se solapan (secantes) hay zona con doble señal.
- 🎯Diseño y logos. Curvas tangentes dan transiciones suaves en tipografías y logotipos, sin esquinas duras.
Ejemplo 1 — Exteriores
R = 6, r = 3, d = 12. ¿Posición?
- R+r = 9; R−r = 3.
- d = 12 > 9 = R+r.
- Posición: exteriores (no se tocan, 0 puntos comunes).
Ejemplo 2 — Tangentes exteriores
R = 6, r = 3. ¿Qué d las hace tangentes por fuera?
- Tangentes exteriores: d = R+r.
- d = 6 + 3 = 9.
- Se besan en un solo punto, por fuera.
Ejemplo 3 — Secantes
R = 6, r = 3, d = 6. ¿Posición?
- R+r = 9; R−r = 3.
- 3 < 6 < 9, o sea R−r < d < R+r.
- Posición: secantes (se cruzan en 2 puntos).
Ejemplo 4 — La rampa tangente
La rampa toca la glorieta en un solo punto. ¿Cómo es el radio en ese punto?
- Toca en un punto: la rampa es tangente.
- El radio al punto de contacto es perpendicular a la rampa.
- Forma un ángulo recto exacto (90°) con la rampa.
Ejemplo 5 — Interiores
R = 8, r = 3, d = 2. ¿Posición?
- R−r = 5; R+r = 11.
- d = 2 < 5 = R−r.
- Posición: interiores (la chica está dentro de la grande, sin tocarse).
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Longitud y arco. Ángulos en la circunferencia
Longitud y arco. Ángulos en la circunferencia
El barandal curvo de la glorieta se cotiza por metro. La vuelta completa del borde mide la longitud de la circunferencia: L = 2πr, con π ≈ 3.14. Si solo se forra un tramo (un arco de n grados), se paga la fracción n/360 de esa vuelta: la mitad del barandal son 180/360 = la mitad de la cuenta.
Sobre el mismo arco viven dos ángulos. El ángulo central (con vértice en el centro) mide igual que su arco. El ángulo inscrito (con vértice en el borde) que abarca ese mismo arco mide la mitad del central. Dos personas miran el mismo tramo: la del centro lo ve "doble" que la del borde.
En el simulador moverás el radio y el ángulo del arco y verás la cuenta en RD$ recortarse por n/360; y comprobarás que el ángulo del centro siempre dobla al del borde.
El barandal de la glorieta
La longitud, el arco y los dos ángulos
1) La vuelta completa mide 2πr. No πr² (eso es el área del círculo): la longitud lleva el 2. Con π ≈ 3.14, una glorieta de radio 5 m tiene 2·3.14·5 = 31.4 m de borde.
2) El arco es una fracción. Un arco de n grados es la parte n/360 de la vuelta: arco = 2πr·(n/360). Olvidar el n/360 da la circunferencia entera en vez del tramo.
3) Central y arco son iguales; el inscrito es la mitad. El ángulo central mide lo mismo que su arco; el ángulo inscrito que abarca el mismo arco mide la mitad del central. Central 80° ⇒ inscrito 40°.
- Longitud total: L = 2·π·r, con π = 3.14.
- Arco: multiplica L por la fracción n/360 del tramo.
- Costo: longitud (m) × precio por metro (RD$).
- Ángulos: central = arco; inscrito = central/2 sobre el mismo arco.
| Dato | Cálculo (π = 3.14) | Resultado |
|---|---|---|
| r = 5, vuelta | 2·3.14·5 | 31.4 m |
| r = 5, arco 90° | 31.4·90/360 | 7.85 m |
| r = 10, arco 180° | 62.8·180/360 | 31.4 m |
| central 120° | 120/2 | inscrito 60° |
Error a evitar: olvidar la fracción n/360 al cotizar un arco. Cobrar la vuelta entera (2πr) por un tramo de 90° infla la cuenta cuatro veces.
El origen. El número π —la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro— fascina desde la antigüedad. Arquímedes (siglo III a.C.) lo acorraló entre 3 + 10/71 y 3 + 1/7 encajando polígonos dentro y fuera del círculo. El símbolo π lo popularizó Euler en el siglo XVIII. El teorema del ángulo inscrito ya estaba en los Elementos de Euclides: el inscrito es la mitad del central.
Quién lo usa hoy y para qué. Longitudes y ángulos circulares mueven el mundo:
- 🛞Odómetros. Cada vuelta de rueda avanza 2πr; el carro cuenta vueltas para medir cuántos kilómetros llevas.
- 🏟️Pistas y curvas. La longitud de las curvas de una pista de atletismo se calcula por arcos para igualar los carriles.
- 📐Topografía. El ángulo inscrito ayuda a ubicar un punto a partir de dos referencias vistas bajo cierto ángulo.
- ⚙️Mecanizado. Cortar un arco de engranaje exige saber su longitud exacta: 2πr·n/360.
Ejemplo 1 — Longitud total
Glorieta de radio 5 m. ¿Cuánto barandal da toda la vuelta? (π = 3.14)
- L = 2·π·r = 2·3.14·5.
- L = 6.28·5 = 31.4 m.
- Es la circunferencia completa del borde.
Ejemplo 2 — Arco de 90°
En la misma glorieta (r = 5), ¿cuánto mide un arco de 90°?
- L = 31.4 m; la fracción es 90/360 = 1/4.
- arco = 31.4·(90/360) = 31.4·0.25 = 7.85 m.
- Un cuarto de vuelta, un cuarto del barandal.
Ejemplo 3 — Arco de 180° con radio 10
Radio 10 m, arco de 180°. ¿Longitud? (π = 3.14)
- L = 2·3.14·10 = 62.8 m.
- arco = 62.8·(180/360) = 62.8·0.5 = 31.4 m.
- Media vuelta, medio barandal.
Ejemplo 4 — El costo del tramo
Un arco de 7.85 m de barandal a RD$ 400 el metro. ¿Costo?
- Costo = longitud × precio.
- Costo = 7.85 × 400 = RD$ 3,140.
- Se cotiza por metro de curva, no por grados.
Ejemplo 5 — Ángulo inscrito
El ángulo central sobre un arco mide 120°. ¿Cuánto mide el inscrito sobre el mismo arco?
- Inscrito = central/2.
- Inscrito = 120/2 = 60°.
- Quien mira desde el borde ve la mitad que quien mira desde el centro.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Polígonos inscritos y circunscritos
Polígonos inscritos y circunscritos
El piso de la glorieta es un octógono cuyos vértices tocan el anillo de columnas: está inscrito en la circunferencia. El tragaluz del techo lleva el mismo octógono, pero ahora son sus lados los que besan el círculo del tragaluz: está circunscrito. Inscrito = vértices sobre el círculo; circunscrito = lados tangentes al círculo.
En un polígono regular conviven dos circunferencias. La circunscrita pasa por los vértices: su radio es el radio del polígono (del centro a un vértice). La inscrita toca los lados por dentro: su radio es la apotema (del centro al punto medio de un lado). La apotema es siempre menor que el radio.
En el simulador cambiarás el número de lados y el modo inscrito/circunscrito, y verás quién toca a quién y dónde van el radio y la apotema.
El piso y el tragaluz
Inscrito, circunscrito, radio y apotema
1) Inscrito vs. circunscrito. Inscrito: los VÉRTICES del polígono están sobre la circunferencia. Circunscrito: los LADOS del polígono son tangentes a la circunferencia (la tocan por fuera).
2) Radio y apotema. El radio del polígono regular va del centro a un vértice (es el radio de la circunferencia CIRCUNSCRITA). La apotema va del centro al punto medio de un lado (es el radio de la circunferencia INSCRITA). La apotema es más corta que el radio.
3) El círculo inscrito no pasa por los vértices. Toca los lados en sus puntos medios. Confundir esto lleva a usar el radio donde va la apotema.
- Mira quién toca a quién: ¿los vértices están sobre el círculo? Inscrito. ¿los lados lo tocan? Circunscrito.
- Radio: traza del centro a un vértice.
- Apotema: traza del centro al punto medio de un lado.
- Compara: la apotema siempre es menor que el radio.
| Término | Quién toca al círculo | Va del centro a… |
|---|---|---|
| Inscrito | los vértices | — |
| Circunscrito | los lados (tangentes) | — |
| Radio | circunferencia circunscrita | un vértice |
| Apotema | circunferencia inscrita | un punto medio de lado |
Error a evitar: intercambiar inscrito y circunscrito. Truco: el polígono inscrito está DENTRO del círculo (vértices tocándolo); el circunscrito ENVUELVE al círculo (lados tocándolo).
El origen. Inscribir y circunscribir polígonos en círculos es una de las ideas más fértiles de la geometría griega. Arquímedes la usó para aproximar π: encajando polígonos de más y más lados dentro y fuera del círculo, atrapó su contorno entre dos cuentas conocidas. Gauss, con apenas 19 años, demostró que el polígono regular de 17 lados se puede construir con regla y compás inscribiéndolo en un círculo, un hallazgo que lo decidió a ser matemático.
Quién lo usa hoy y para qué. Inscritos y circunscritos siguen presentes:
- 🔩Tuercas y llaves. Una tuerca hexagonal se mide "entre caras" (la apotema doble) o "entre vértices" (el radio doble): la llave correcta depende de cuál uses.
- 🏛️Arquitectura. Cúpulas y pisos poligonales se trazan inscribiendo el polígono en el círculo de la planta, como en muchas glorietas dominicanas.
- ⚽Diseño. El balón clásico combina pentágonos y hexágonos sobre una esfera: polígonos abrazando una curva.
- 💎Joyería y corte. El tallado de gemas reparte facetas alrededor de un eje como vértices de un polígono inscrito.
Ejemplo 1 — ¿Inscrito o circunscrito?
Un octógono tiene sus 8 vértices tocando un círculo. ¿Cómo está?
- Los vértices tocan el círculo.
- Eso es estar inscrito.
- El círculo lo rodea por fuera (circunscrito al polígono).
Ejemplo 2 — Lados tangentes
Un hexágono tiene sus lados tangentes a un círculo interior. ¿Cómo está?
- Los lados tocan el círculo.
- El polígono está circunscrito a ese círculo.
- El círculo queda inscrito dentro del polígono.
Ejemplo 3 — Radio o apotema
¿Qué segmento va del centro al punto medio de un lado?
- Al vértice → radio. Al punto medio de un lado → apotema.
- La respuesta es la apotema.
- Es más corta que el radio.
Ejemplo 4 — El piso de la glorieta
El piso octogonal tiene sus esquinas tocando el anillo de columnas. ¿Inscrito o circunscrito?
- Las esquinas (vértices) tocan el círculo de columnas.
- El piso está inscrito en el anillo.
- El radio iría del centro a una columna (un vértice).
Ejemplo 5 — ¿Cuál es mayor?
En un mismo polígono regular, ¿qué es mayor, el radio o la apotema?
- El radio llega a un vértice (más lejos del centro).
- La apotema llega a un lado (más cerca).
- El radio es mayor que la apotema.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Construcción de polígonos inscritos y circunscritos
Construcción de polígonos inscritos y circunscritos
Para replantear el piso octogonal, el maestro de obra no improvisa: divide los 360° del centro en n partes iguales. Cada parte es el ángulo central 360/n. Clava una marca, gira ese ángulo, clava otra… y al unir las marcas con cuerdas tensas aparece el polígono regular inscrito. Para el circunscrito, sobre cada marca apoya una regla tangente.
El secreto está en el ángulo. Si elige 360/8 = 45° para un octógono, las ocho marcas caen exactas y la vuelta cierra. Si se equivoca de ángulo, el último lado queda cojo: la vuelta no cierra y el piso sale torcido. Por eso el ángulo central de reparto NO es el ángulo interior, sino 360/n.
En el simulador elegirás el ángulo de reparto y verás si las marcas cierran un polígono perfecto o dejan la vuelta coja.
El replanteo del piso
El ángulo que cierra la vuelta
1) Reparte los 360° en n partes. Para un polígono regular de n lados inscrito, marca n puntos separados por el ángulo central 360/n y únelos. La vuelta cierra exactamente porque n·(360/n) = 360.
2) No uses el ángulo interior. El interior (n−2)·180/n sirve para medir las esquinas, NO para repartir el círculo. Para repartir, siempre 360/n.
3) Circunscrito = tangentes en las marcas. Una vez ubicadas las marcas con 360/n, el circunscrito se levanta trazando una recta tangente en cada marca.
- Calcula el ángulo de reparto: 360 dividido entre el número de lados n.
- Traza la circunferencia y marca un primer punto.
- Gira ese ángulo desde el centro y marca; repite hasta dar la vuelta.
- Une las marcas (inscrito) o traza tangentes en ellas (circunscrito).
| Lados n | Ángulo central 360/n | Polígono |
|---|---|---|
| 3 | 120° | triángulo |
| 4 | 90° | cuadrado |
| 6 | 60° | hexágono |
| 8 | 45° | octógono |
| 12 | 30° | dodecágono |
Error a evitar: usar el ángulo interior (n−2)·180/n para repartir. El interior mide las esquinas; el reparto del círculo se hace SIEMPRE con 360/n.
El origen. Construir polígonos regulares con regla y compás es un problema tan antiguo como la geometría griega: Euclides explica cómo trazar el triángulo, el cuadrado, el pentágono y el hexágono inscritos. Durante dos mil años nadie supo cuáles más eran posibles, hasta que Gauss (1796) demostró el caso del polígono de 17 lados y dio el criterio general; Wantzel completó la teoría probando que el de 7 o el de 9 lados NO se pueden construir solo con regla y compás.
Quién lo usa hoy y para qué. El reparto angular sigue vivo:
- 📐Replanteo en obra. Glorietas, rotondas y cúpulas poligonales se trazan repartiendo 360/n, igual que en el malecón.
- ⚙️Engranajes. Los dientes se reparten exactamente cada 360/n grados alrededor del eje.
- 🧭Diseño gráfico. Los programas de dibujo crean polígonos regulares repartiendo el círculo en n vértices automáticamente.
- 🎆Patrones y fuegos. Mandalas, rosetones y figuras simétricas nacen de repartir un giro completo en partes iguales.
Ejemplo 1 — Reparto para 6 lados
¿Qué ángulo central reparte un hexágono regular?
- Ángulo central = 360/n.
- 360/6 = 60°.
- Seis marcas de 60° cierran la vuelta (6·60 = 360).
Ejemplo 2 — Reparto para 8 lados
¿Y para el octógono del piso?
- 360/8 = 45°.
- Ocho marcas de 45° (8·45 = 360).
- Por eso el piso octogonal se replantea con 45°.
Ejemplo 3 — No confundir con el interior
Para un hexágono, ¿se reparte con 120° (el interior) o con 60°?
- El interior es (6−2)·180/6 = 120°, pero NO sirve para repartir.
- El reparto del círculo usa 360/n = 360/6 = 60°.
- Con 120° las marcas no cerrarían la vuelta.
Ejemplo 4 — Del ángulo al número de lados
El maestro reparte con marcas de 30°. ¿Cuántos lados tendrá el piso?
- 30 = 360/n → n = 360/30.
- n = 12 lados (dodecágono).
- Doce marcas de 30° cierran la vuelta.
Ejemplo 5 — Construir el circunscrito
Tras marcar un pentágono con 72°, ¿cómo se hace circunscrito?
- El reparto es 360/5 = 72°.
- Para el circunscrito, traza una tangente en cada una de las 5 marcas.
- Las tangentes se cortan formando el pentágono que envuelve el círculo.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Responde una a una: cada respuesta se marca en verde o rojo. Necesitas 80% para aprobar. Pulsa Reintentar para barajar.