11.1 Concepto de función
11.1 Concepto de función
Imagina una máquina expendedora en el colmado: cada código de producto que introduces te da exactamente un artículo. Nunca metes el código "A3" y recibes a veces agua y a veces jugo — siempre el mismo resultado para la misma entrada. Eso es una función: a cada valor de entrada (x) le corresponde un único valor de salida (y).
En matemática se escribe y = f(x) y se lee "f de x". Por ejemplo: f(2) = 5 significa que al meter 2, la máquina devuelve 5.
Lo que no puede pasar: que la misma x produzca dos y diferentes. Sí está permitido que dos x distintas den la misma y (dos códigos distintos que entregan el mismo producto).
Diagrama de flechas — ¿es función?
El slider ajusta cuántos pares (x,y) se muestran. En Modo Explorar se ve si la relación es función o no.
Idea clave
🔑 Pregunta clave: "¿Tiene alguna x dos imágenes y distintas?" Si sí → no es función. Si no → es función. Mnemónico: una persona (x) tiene un solo número de cédula (y), pero dos personas distintas pueden compartir el mismo tipo de documento.
Relación A: {(1,2), (2,4), (3,6)} → Función ✓ (cada x tiene una sola y). Relación B: {(1,2), (1,5), (2,4)} → No es función ✗ (x=1 tiene dos imágenes: 2 y 5).
El concepto de función es el más importante del análisis matemático moderno. En programación, una función también debe devolver un único resultado para cada entrada (sin efectos secundarios, es una función pura). En física, la posición de un objeto es una función del tiempo — en cada instante solo puede estar en un lugar.
- ¿Es función la relación {(1,3), (2,3), (3,5), (4,5)}? Explica.
- ¿Es función la relación {(2,1), (4,2), (2,3)}? ¿Por qué?
- ¿Pasa la prueba de la línea vertical una circunferencia? ¿Es función?
- Doña Carmen registra (día, kg producidos). ¿Es esta relación una función? ¿Por qué?
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
11.2 Representación de funciones
11.2 Representación de funciones
Una función f puede representarse de cuatro formas equivalentes:
- Ecuación: y = f(x) (regla algebraica)
- Tabla: pares (x, f(x)) para valores seleccionados del dominio
- Gráfica: puntos (x, f(x)) en el plano cartesiano
- Diagrama de flechas: flechas de cada x a su imagen
Las cuatro representaciones son equivalentes: describen la misma función.
Explorador de representaciones
Selecciona la función con el menú y mueve el slider de x. Verás el punto en la gráfica y los datos en la tabla.
Idea clave
🔑 Tabla, gráfica y ecuación son tres maneras distintas de escribir lo mismo. Si conoces la ecuación, puedes construir la tabla evaluando f(x) para distintos x, y luego graficar los puntos de la tabla.
Para f(x) = 2x + 1: tabla parcial: f(0)=1, f(1)=3, f(2)=5, f(−1)=−1. Gráfica: recta que pasa por (0,1) con pendiente 2. Las tres representaciones son equivalentes.
En física, la posición de un objeto en caída libre es f(t) = ½·g·t². En economía, el ingreso total es f(q) = p·q. En ambos casos, la ecuación, la tabla y la gráfica representan la misma relación funcional. Los científicos prefieren la ecuación para calcular; los maestros, la gráfica para intuir; los ingenieros, la tabla para programar.
- Haz una tabla de valores para f(x) = x² − 3 con x ∈ {−2, −1, 0, 1, 2}.
- ¿Cuáles puntos de la tabla anterior estarían por debajo del eje x?
- Doña Carmen cobra RD$45 por kg de habichuelas: f(kg) = 45·kg. Haz una tabla y una gráfica para kg ∈ {10, 20, 30, 40}.
- ¿Puede una tabla tener dos filas con la misma x pero distinta f(x)? ¿Por qué?
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
11.3 Función lineal f(x) = mx + b
11.3 Función lineal f(x) = mx + b
La función lineal tiene la forma f(x) = mx + b, donde:
- m = pendiente (slope): indica cuánto sube o baja f(x) por cada unidad que avanza x.
- b = intercepto en y (o término independiente): es el valor de f(0), donde la recta cruza el eje y.
Si m > 0 la función es creciente; si m < 0 es decreciente; si m = 0 es constante (f(x) = b).
Para graficar: usa dos puntos — el intercepto (0, b) y otro punto como (1, m+b) — y traza la recta.
Explorador de pendiente e intercepto
Ajusta m (pendiente) y b (intercepto) con los sliders y observa cómo cambia la recta.
Idea clave
🔑 Mnemónico: "m de mover" — m dice cuánto se mueve la función por cada paso en x. "b de base" — b es donde la recta empieza en el eje y. Puedes graficar cualquier recta con solo dos puntos: x=0 da (0,b) y x=1 da (1, m+b).
Para graficar f(x) = 2x − 3:
(1) x=0 → f(0)=−3 → punto (0,−3).
(2) x=1 → f(1)=2·1−3=−1 → punto (1,−1).
(3) x=2 → f(2)=2·2−3=1 → punto (2,1).
Une los puntos con una recta. Pendiente: 2 (sube 2 por cada unidad). Intercepto: −3.
La función lineal modela casi todo lo que "crece a tasa constante": costo de producción, salario por hora, distancia a velocidad constante. En economía, la función de oferta y demanda son rectas cuando la respuesta es proporcional. La pendiente m es la "tasa marginal" — cuánto cambia el resultado por cada unidad adicional de insumo.
- Doña Carmen paga RD$500 fijos de transporte + RD$15 por kg. Escribe la función de costo y halla f(50).
- ¿Cuál es la pendiente de f(x) = −3x + 7? ¿Es creciente o decreciente?
- Dos funciones: f(x) = 2x + 1 y g(x) = 2x − 4. ¿Qué tienen en común? ¿En qué se diferencian?
- Halla b sabiendo que la recta f(x) = 4x + b pasa por el punto (2, 11).
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
11.4 Evaluación y operaciones con funciones
11.4 Evaluación y operaciones con funciones
Dadas dos funciones f y g con un dominio común, se definen las siguientes operaciones:
- (f + g)(x) = f(x) + g(x) — suma de funciones
- (f − g)(x) = f(x) − g(x) — diferencia de funciones
- (f · g)(x) = f(x) · g(x) — producto de funciones
Para evaluar en un valor concreto: primero calcula f(x) y g(x) por separado, luego aplica la operación.
Ejemplo: f(x) = 2x y g(x) = x + 3. Entonces (f + g)(4) = f(4) + g(4) = 8 + 7 = 15.
Calculadora de operaciones con funciones
Selecciona las funciones f y g con los menús. Mueve el slider x y observa cómo se calculan f(x), g(x) y las operaciones.
Idea clave
🔑 Las operaciones con funciones son más simples de lo que parecen: primero evalúa cada función por separado en el mismo x, luego aplica la operación aritmética normal. (f+g)(x) no es una nueva función misterio — es solo f(x) + g(x).
f(x) = 3x, g(x) = x + 2. Halla (f + g)(5):
Paso 1: f(5) = 3·5 = 15.
Paso 2: g(5) = 5 + 2 = 7.
Paso 3: (f + g)(5) = 15 + 7 = 22. ✓
Halla (f · g)(2): f(2)=6, g(2)=4. (f·g)(2)=6·4=24.
En economía, si f(q) es el ingreso total y g(q) es el costo total, entonces la ganancia es (f − g)(q). En señales digitales, la convolución es una operación entre funciones que filtra ruido. En física, la energía total es la suma de la energía cinética y la potencial: E(t) = K(t) + U(t).
- f(x) = 4x − 1, g(x) = 2x + 5. Halla: (f + g)(3), (f − g)(0), (f · g)(1).
- Si f(2) = 8 y g(2) = 3, ¿cuánto es (f + g)(2), (f · g)(2)?
- Doña Carmen: ingreso f(kg) = 45·kg, costo g(kg) = 20·kg + 300. ¿Cuál función representa la ganancia? ¿Cuánto gana con 50 kg?
- ¿Es siempre cierto que (f · g)(x) = (g · f)(x)? Justifica.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
11.5 Composición de funciones
11.5 Composición de funciones
La composición de funciones combina dos funciones en cadena:
(f ∘ g)(x) = f(g(x))
- Paso 1: aplica g a x → obtén g(x).
- Paso 2: aplica f al resultado → obtén f(g(x)).
Importante: el orden importa. En general, (f ∘ g)(x) ≠ (g ∘ f)(x).
Ejemplo: f(x) = 2x, g(x) = x + 3. Entonces (f∘g)(5) = f(g(5)) = f(8) = 16.
Pero (g∘f)(5) = g(f(5)) = g(10) = 13 ≠ 16.
Máquina de composición
Mueve el slider x y observa la "máquina": x entra a g, el resultado pasa a f.
Idea clave
🔑 Piensa en la composición como una "cadena de producción": la salida de la primera máquina es la entrada de la segunda. Mnemónico: (f∘g)(x) — se lee "f de g de x" — g actúa primero aunque f esté escrita primero.
f(x) = x + 1, g(x) = 3x. Halla (f∘g)(4):
Paso 1: g(4) = 3·4 = 12.
Paso 2: f(12) = 12 + 1 = 13.
→ (f∘g)(4) = 13.
Halla (g∘f)(4):
Paso 1: f(4) = 4 + 1 = 5.
Paso 2: g(5) = 3·5 = 15.
→ (g∘f)(4) = 15 ≠ 13. La composición no es conmutativa.
La composición de funciones es fundamental en programación (encadenamiento de filtros), en criptografía (cifradores en cascada), y en física (cambios de referencia). En cálculo, la "regla de la cadena" es simplemente la derivada de una composición. Toda transformación compleja puede descomponerse en pasos simples encadenados.
- f(x) = x² y g(x) = 2x − 1. Halla (f∘g)(3) y (g∘f)(3). ¿Son iguales?
- Si h(x) = (f∘g)(x) = 4x − 3 y g(x) = 2x, ¿cuál es f(x)?
- Doña Carmen: g(kg) = kg − 5 (descuento de merma) y f(kg) = 45·kg (ingreso). Halla (f∘g)(60): ¿cuánto ingresa con 60 kg después del descuento?
- ¿Para qué valores de x coinciden (f∘g)(x) y (g∘f)(x) si f(x)=x+2 y g(x)=3x?
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Responde una a una: cada respuesta se marca en verde o rojo. Necesitas 80% para aprobar. Pulsa Reintentar para barajar.