Expresión numérica y algebraica
Expresión numérica y algebraica
En la central de motoconchos, el despachador anota dos cosas en la pizarra. A la izquierda, lo que cobró un viaje concreto: 50 + 15·3 — el banderazo de RD$50 más RD$15 por cada uno de los 3 km al mercado. Eso es una expresión numérica: solo números y operaciones, y un único valor fijo (95). A la derecha escribe la tarifa de cualquier viaje: 50 + 15k, con la k brillando como una casilla vacía esperando los kilómetros. Eso es una expresión algebraica.
La diferencia es la letra. Una expresión numérica ya tiene su respuesta: 50 + 15·3 vale 95 y punto. Una expresión algebraica no vale un número solo: vale lo que tú le pongas a la k. Es la misma plantilla para infinitos viajes — cambia la k y cambia el precio, sin reescribir nada.
En el simulador moverás la k y verás cómo la tarifa general produce cada tarifa concreta; en la misión, evaluarás la tarifa del viaje pedido con el resultado tapado.
La pizarra de tarifas
Lo que la pizarra te estaba mostrando
1) Expresión numérica = un valor fijo. Solo números y operaciones: 50 + 15·3 vale 95 siempre. No hay nada que "elegir": el resultado ya está decidido.
2) Expresión algebraica = una variable manda. Tiene al menos una letra (la variable) que representa una cantidad que cambia: 50 + 15k. Su valor depende del valor de k. Una sola fórmula sirve para todos los viajes.
3) La variable convierte un cálculo en TODOS los cálculos de esa forma. No es un número escondido que hay que adivinar: es un hueco que acepta cualquier valor. Por eso el álgebra es un lenguaje: dice de una vez lo que pasaría con cada número posible.
- ¿Hay alguna letra? Si NO la hay, es numérica (un valor fijo). Si la hay, es algebraica.
- Identifica la variable: en la tarifa, la k son los kilómetros — la cantidad que cambia.
- Para evaluar, sustituye: cambia la letra por su valor y calcula respetando la jerarquía (primero el producto, luego la suma).
- Interpreta: el número que sale es la tarifa de ESE viaje, en pesos.
| Expresión | Tipo | Valor |
|---|---|---|
| 50 + 15·3 | numérica | 95 (fijo) |
| 50 + 15k | algebraica | depende de k |
| 30 + 25·4 | numérica | 130 (fijo) |
| 40 + p·k | algebraica | depende de p y k |
Error a evitar: creer que 50 + 15·3 es algebraica "porque tiene cuentas". Tener operaciones NO la hace algebraica; lo que la haría algebraica es una LETRA. Sin variable, el resultado ya está fijo.
El origen. Durante siglos la matemática se escribió con palabras: los problemas se contaban en frases largas. El persa al-Khwarizmi (siglo IX) sistematizó la resolución de ecuaciones — de su libro al-yabr viene la palabra "álgebra" — pero aún sin símbolos. El gran salto lo dio el francés François Viète (siglo XVI), el primero en usar letras para las cantidades desconocidas y conocidas; poco después René Descartes fijó la costumbre que usas hoy: letras del final del alfabeto (x, y, k) para las variables. Así nació el lenguaje algebraico: decir con una letra lo que antes pedía un párrafo.
Quién lo usa hoy y para qué. Escribir cálculos con variables mueve el mundo:
- 📊Hojas de cálculo. Cada fórmula de Excel o Google Sheets (=A1*15+50) es una expresión algebraica: una plantilla que recalcula sola al cambiar los datos.
- 🛵Apps de transporte y tarifas. Uber, Indrive, la luz, el agua y el internet calculan tu factura con una expresión del tipo banderazo + precio·cantidad.
- 💻Programación. Las variables de todo programa son exactamente esta idea: un nombre que guarda un valor que puede cambiar mientras el código corre.
- 💰Finanzas. Intereses, presupuestos y precios se escriben como fórmulas con variables para simular "¿y si...?" sin rehacer la cuenta cada vez.
Ejemplo 1 — ¿Numérica o algebraica?
Clasifica: (a) 50 + 15·4 (b) 50 + 15k.
- (a) No tiene letras: solo números y operaciones → numérica.
- (a) Su valor es fijo: 50 + 60 = 110.
- (b) Tiene la variable k → algebraica; su valor depende de k.
Ejemplo 2 — Evaluar la tarifa general
Tarifa 50 + 15k. ¿Cuánto cuesta un viaje de 6 km?
- Sustituyo k = 6: 50 + 15·6.
- Primero el producto: 15·6 = 90.
- Luego la suma: 50 + 90 = 140 pesos.
Ejemplo 3 — Jerarquía: el error de sumar primero
Evalúa 50 + 15·3 correctamente.
- Mal: (50 + 15)·3 = 65·3 = 195. ✗ (sumar antes de multiplicar).
- Bien: 15·3 = 45, luego 50 + 45 = 95 pesos.
- La multiplicación SIEMPRE va antes que la suma.
Ejemplo 4 — Una fórmula, muchos viajes
Con 50 + 15k, ¿cuánto cobran el viaje al mercado (3 km) y el de la basílica (8 km)?
- Mercado: 50 + 15·3 = 50 + 45 = 95 pesos.
- Basílica: 50 + 15·8 = 50 + 120 = 170 pesos.
- La misma expresión algebraica produjo dos tarifas numéricas distintas.
Ejemplo 5 — Del recibo a los kilómetros
Con 50 + 15k, un recibo marcó 170 pesos. ¿Cuántos km fueron?
- 170 = 50 + 15k → 15k = 170 − 50 = 120.
- k = 120 / 15 = 8 km.
- Compruebo: 50 + 15·8 = 50 + 120 = 170 ✓.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Expresión verbal
Expresión verbal
El despachador de la central no escribe fórmulas: las dice por radio. «Cóbrale el doble de la distancia, más 30 pesos», suelta entre interferencias. Tu trabajo es traducir esa frase al álgebra: 2d + 30. Pero cuidado con el oído: «el doble de la distancia más 30» — sin la coma — puede significar 2·(d + 30), que es otra cuenta y otro precio.
Traducir del español al álgebra tiene dos claves: identificar la cantidad desconocida (aquí la distancia d) y respetar el orden de las operaciones que la frase impone. «El triple de d» es 3d; «d aumentado en 5» es d + 5; «5 menos el triple de d» es 5 − 3d (¡no 3d − 5!). Las palabras "doble", "triple", "menos", "más", "por cada" son instrucciones precisas.
En el simulador armarás la fórmula con el coeficiente de la distancia y el término fijo, y verás dos recibos compararse; en la misión, traducirás el mensaje del radio con el recibo de prueba apagado.
El radio del despachador
Del español al álgebra, sin perder un peso
1) Primero, nombra la incógnita. ¿Qué cantidad cambia? Aquí, la distancia: la llamamos d. Toda la frase se construye alrededor de ella.
2) Traduce palabra por palabra, respetando el orden. "doble/triple de" = ×2, ×3; "aumentado en / más" = +; "menos / disminuido en" = −; "por cada km" = ·d. El orden de la frase es el orden de las operaciones.
3) Los paréntesis y la coma deciden. "el doble de la distancia, más 30" agrupa primero el doble (2d) y luego suma 30: 2d + 30. "el doble de (la distancia más 30)" agrupa primero la suma: 2(d + 30) = 2d + 60. Misma frase, distinto agrupamiento, distinto precio.
- Nombra la incógnita: elige una letra para la cantidad que cambia (d = distancia).
- Subraya las palabras-operación: doble, triple (×); más, aumentado (+); menos (−); por cada (·).
- Respeta el orden y los agrupamientos: ¿hay coma o paréntesis? Eso dice qué se calcula primero.
- Verifica con un valor: ponle un número a d en tu fórmula y a la frase, y comprueba que coinciden.
| Frase | Traducción | Cuidado |
|---|---|---|
| el triple de la distancia | 3d | no 3 + d |
| la distancia aumentada en 5 | d + 5 | suma, no producto |
| el doble de d, más 30 | 2d + 30 | la coma agrupa el doble |
| el doble de (d más 30) | 2(d + 30) | = 2d + 60 |
| 30 menos el triple de d | 30 − 3d | no 3d − 30 |
Error a evitar: ignorar los paréntesis. "El doble de la distancia más 30" agrupado como 2(d + 30) NO es 2d + 30: la primera vale 2d + 60. Si hay paréntesis (o la palabra "de" abarca toda la suma), multiplica TODO lo de adentro.
El origen. El "álgebra retórica" — escribir los problemas matemáticos íntegramente con palabras — dominó durante más de mil años. En el famoso papiro Rhind egipcio y en los textos de al-Khwarizmi, una ecuación era un párrafo: "una cantidad, sumada a su mitad, da diez". Recién entre los siglos XV y XVII apareció el "álgebra sincopada" (abreviaturas) y luego el "álgebra simbólica" de Viète y Descartes. Traducir del lenguaje natural al simbólico fue, históricamente, el gran avance que volvió la matemática manejable: lo que antes ocupaba un párrafo cabe hoy en una línea.
Quién lo usa hoy y para qué. Traducir palabras a fórmulas es una destreza viva:
- 🧾Contratos y leyes. Cláusulas de precios, multas e impuestos se redactan en palabras y deben traducirse a fórmulas exactas para cobrarse bien.
- 💻Programación. Convertir un requisito en español ("cobra el envío más 10% si pesa más de 2 kg") a código es exactamente este tema.
- 📐Ingeniería y física. Cada problema empieza como enunciado verbal que el profesional traduce a ecuaciones antes de resolver.
- 🤖Inteligencia artificial. Los asistentes que "entienden" un pedido y lo vuelven una operación hacen, en el fondo, traducción de lenguaje natural a expresión formal.
Ejemplo 1 — Traducción directa
«El precio por km (15) por la distancia, más el banderazo 50».
- Incógnita: la distancia d.
- "15 por la distancia" = 15d; "más 50" = + 50.
- Traducción: 15d + 50.
Ejemplo 2 — La coma agrupa
«El doble de la distancia, más 30».
- "el doble de la distancia" = 2d.
- La coma cierra ahí; "más 30" se suma después: 2d + 30.
- Traducción: 2d + 30.
Ejemplo 3 — Paréntesis: todo adentro se multiplica
«El doble de (la distancia más 30)».
- El paréntesis se calcula primero: (d + 30).
- "el doble de" multiplica TODO: 2(d + 30).
- Expandido: 2d + 60 (distinto de 2d + 30).
Ejemplo 4 — El orden de la resta
«50 pesos menos el triple de la distancia» (descuento por viaje corto).
- "el triple de la distancia" = 3d.
- "50 menos eso" = 50 − 3d.
- Traducción: 50 − 3d (¡no 3d − 50!). El orden importa en la resta.
Ejemplo 5 — Verificar con un valor
¿Es 2d + 30 lo mismo que 2(d + 30)? Prueba con d = 5.
- 2d + 30 con d=5: 2·5 + 30 = 10 + 30 = 40.
- 2(d + 30) con d=5: 2·(5 + 30) = 2·35 = 70.
- Dan distinto: NO son equivalentes. Verificar con un número delata el error.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Lenguaje algebraico y gráfico
Lenguaje algebraico y gráfico
En la central, una pantalla grafica el costo de cada motoconcho contra los kilómetros. La tarifa 50 + 15k aparece como una recta: empieza a la altura de 50 (el banderazo: lo que pagas antes de arrancar) y sube 15 por cada kilómetro (el precio por km). La fórmula y la gráfica son el mismo objeto en dos idiomas.
Leer la pantalla es leer la tarifa: el punto donde la recta toca el eje vertical (en k = 0) es el banderazo b; cuánto sube la recta por cada km que avanzas a la derecha es el precio por km p. Si una recta arranca más arriba, el banderazo es mayor; si sube más empinada, el precio por km es mayor. Dos motoconchos con tarifas distintas son dos rectas que pueden cruzarse: antes del cruce conviene una, después la otra.
En el simulador moverás banderazo y precio y verás la recta cambiar; en la misión, deducirás la fórmula de una recta marcada solo con dos puntos.
La pantalla de rutas
Leer la recta de la tarifa
1) El banderazo b es dónde arranca la recta. Es el costo en k = 0: el punto donde la recta toca el eje vertical. Si lo subes, la recta entera se levanta sin cambiar su inclinación.
2) El precio por km p es la subida. Por cada km que avanzas (un paso a la derecha), la recta sube p pesos. Más empinada = más cara por km. Para hallarlo con dos puntos: p = (subida de y) / (avance de x).
3) Fórmula y gráfica son lo mismo. De la fórmula puedes dibujar la recta; de la recta puedes escribir la fórmula. Leer la pantalla con dos puntos marcados te da p y b sin más que restar y dividir.
- Halla el banderazo b: mira la altura de la recta en k = 0 (donde toca el eje vertical).
- Halla el precio p: toma dos puntos; p = (diferencia de costos) / (diferencia de km).
- Escribe la fórmula: y = b + p·k con los valores hallados.
- Comprueba: evalúa tu fórmula en un punto de la recta y verifica que coincide.
| Lectura | De la recta | Fórmula |
|---|---|---|
| Arranca en 50, sube 15/km | (0,50) y (4,110) | y = 50 + 15k |
| Arranca en 30, sube 20/km | (0,30) y (5,130) | y = 30 + 20k |
| Arranca en 60, sube 10/km | (0,60) y (8,140) | y = 60 + 10k |
| Sin banderazo, sube 25/km | (0,0) y (4,100) | y = 25k |
Error a evitar: intercambiar banderazo y precio. El banderazo es la ALTURA en k = 0; el precio es la SUBIDA por km. Una recta que arranca en 50 y sube 15 es y = 50 + 15k, NO y = 15 + 50k.
El origen. Unir el álgebra con el dibujo fue obra de René Descartes y Pierre de Fermat en el siglo XVII: la geometría analítica. Su idea revolucionaria fue que cada ecuación con dos variables corresponde a una curva en el plano, y cada curva, a una ecuación. Antes, álgebra y geometría eran mundos separados; desde entonces, una fórmula y su gráfica son dos caras de lo mismo. La recta y = b + px que lees en la pantalla de rutas es el caso más simple y más usado de esa unión.
Quién lo usa hoy y para qué. Pasar de fórmula a gráfica mueve decisiones reales:
- 📈Negocios. Gráficas de costo, ingreso y punto de equilibrio se leen como rectas para decidir precios y producción.
- 🛵Transporte. Comparar tarifas (cuál conviene para viajes cortos o largos) es leer dónde se cruzan dos rectas en una pantalla.
- 🌡️Ciencia. Toda relación lineal entre dos magnitudes (temperatura, presión, consumo) se grafica como recta para detectar tendencias.
- 📊Datos e IA. La regresión lineal busca la recta que mejor describe una nube de puntos: fórmula y gráfica trabajando juntas.
Ejemplo 1 — Leer el banderazo
Una recta toca el eje vertical en 50. ¿Cuál es el banderazo?
- El banderazo es el costo en k = 0 (donde la recta toca el eje vertical).
- La recta arranca en 50 → b = 50 pesos.
- Es lo que pagas antes de avanzar un solo km.
Ejemplo 2 — Hallar el precio por km con dos puntos
La recta pasa por (0, 50) y (4, 110). ¿Precio por km?
- Subida de y: 110 − 50 = 60.
- Avance de x: 4 − 0 = 4.
- p = 60 / 4 = 15 pesos por km.
Ejemplo 3 — Escribir la fórmula completa
Con b = 50 y p = 15, escribe la tarifa.
- Fórmula: y = b + p·k.
- Sustituyo: y = 50 + 15k.
- Compruebo en (4,110): 50 + 15·4 = 110 ✓.
Ejemplo 4 — Dos puntos sin pasar por k=0
La recta pasa por (2, 70) y (6, 170). Halla b y p.
- p = (170 − 70)/(6 − 2) = 100/4 = 25.
- b = 70 − 25·2 = 70 − 50 = 20.
- Fórmula: y = 20 + 25k. Comprobación en (6,170): 20 + 150 = 170 ✓.
Ejemplo 5 — No intercambiar b y p
Recta que arranca en 30 y sube 20 por km. ¿y = 30 + 20k o y = 20 + 30k?
- Banderazo = altura inicial = 30 → es el término sin k.
- Precio por km = subida = 20 → multiplica a k.
- Correcto: y = 30 + 20k (no y = 20 + 30k).
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Transformar expresiones algebraicas
Transformar expresiones algebraicas
El motoconchista anota cobros sueltos durante la semana y el recibo queda hecho un lío: 15k + 8k + 50 + 30 + 7k. Antes de cobrar conviene ordenarlo: juntar todo lo que va con k (15k + 8k + 7k = 30k) y juntar los números sueltos (50 + 30 = 80). El recibo limpio dice 30k + 80 — la misma plata, mejor escrita.
Esto es reducir términos semejantes: solo se pueden sumar términos del mismo tipo. Los términos con k son una "moneda"; los números solos son otra. 15k + 8k = 23k (se suman los coeficientes y se conserva la k), pero 15k + 50 NO se puede juntar: son tipos distintos, queda indicado. Dos expresiones son equivalentes si valen lo mismo para todo valor de k: la original y la reducida dan idéntico total siempre.
En el simulador fundirás términos y un verificador comprobará que el total no cambia; en la misión, reducirás el recibo eligiendo solo las fusiones legales.
El recibo kilométrico
Reducir sin cambiar el valor
1) Solo se suman términos semejantes. Los términos con k se juntan entre sí (se suman sus coeficientes y se conserva la k): 15k + 8k + 7k = 30k. Los números sueltos se juntan aparte: 50 + 30 = 80. Lo de tipo distinto NO se mezcla.
2) La propiedad distributiva también transforma. 2(5k + 20) = 2·5k + 2·20 = 10k + 40. Hay que multiplicar TODO lo del paréntesis, no solo el primer término.
3) Equivalente = mismo valor para todo k. 30k + 80 y el recibo original dan el mismo total para cualquier k. Reducir cambia la escritura, nunca el valor: por eso se puede comprobar evaluando en cualquier número.
- Agrupa por tipo: separa los términos con k de los números sueltos.
- Suma cada grupo: suma los coeficientes de los k (conservando la k) y suma los números aparte.
- Si hay paréntesis, distribuye primero: multiplica el factor por CADA término de adentro.
- Comprueba: evalúa la original y la reducida en un valor de k; deben coincidir.
| Expresión | Reducida | Nota |
|---|---|---|
| 15k + 8k + 7k | 30k | suma de coeficientes |
| 50 + 30 | 80 | números sueltos |
| 15k + 8k + 50 + 30 + 7k | 30k + 80 | no se mezclan tipos |
| 2(5k + 20) | 10k + 40 | distributiva |
| 15k + 50 | 15k + 50 | ya no se reduce |
Error a evitar: sumar términos NO semejantes, como 15k + 50 = 65k. La k y los números son tipos distintos: no se juntan. Tampoco "perder" la variable: 15k + 8k = 23k, NO 23.
El origen. La idea de "términos semejantes" viene del álgebra simbólica que maduró con Viète y Descartes en los siglos XVI y XVII, pero la regla práctica de agrupar lo igual es tan vieja como el comercio: los mercaderes siempre sumaron monedas iguales entre sí y medidas iguales entre sí. La propiedad distributiva —multiplicar un factor por cada término de una suma— fue formalizada como una de las leyes fundamentales de los números; es la que permite que distintas formas de escribir una expresión den siempre el mismo valor.
Quién lo usa hoy y para qué. Simplificar expresiones es trabajo diario:
- 💻Programación y compiladores. Los compiladores "optimizan" el código simplificando expresiones para que corran más rápido: exactamente reducir términos.
- 🧮Calculadoras simbólicas. WolframAlpha, GeoGebra y los sistemas de álgebra computacional simplifican fórmulas automáticamente.
- 📐Ingeniería. Antes de calcular, los ingenieros reducen fórmulas largas a su forma mínima para evitar errores y ahorrar trabajo.
- 💰Finanzas. Combinar cargos y descuentos en una sola fórmula reducida facilita comparar contratos y facturas.
Ejemplo 1 — Reducir términos en k
Simplifica 12k + 9k + 4k.
- Todos son del mismo tipo (con k).
- Sumo los coeficientes: 12 + 9 + 4 = 25.
- Conservo la k: 25k (no 25).
Ejemplo 2 — Dos tipos a la vez
Simplifica 15k + 8k + 50 + 30 + 7k.
- Términos con k: 15k + 8k + 7k = 30k.
- Números sueltos: 50 + 30 = 80.
- Resultado: 30k + 80 (no se mezclan los tipos).
Ejemplo 3 — No mezclar tipos
¿Se puede reducir 15k + 50 a un solo término?
- 15k es de tipo "con k"; 50 es un número suelto.
- Son tipos distintos: NO se suman.
- Queda indicado: 15k + 50. (15k + 50 ≠ 65k.)
Ejemplo 4 — Distributiva en el recibo
Reduce 2(5k + 20) + 5k.
- Distribuyo: 2·5k + 2·20 = 10k + 40.
- Junto los k: 10k + 5k = 15k.
- Resultado: 15k + 40.
Ejemplo 5 — Comprobar equivalencia
¿Es 30k + 80 equivalente a 15k + 8k + 50 + 30 + 7k? Prueba con k = 2.
- Reducida: 30·2 + 80 = 60 + 80 = 140.
- Original: 15·2 + 8·2 + 50 + 30 + 7·2 = 30 + 16 + 50 + 30 + 14 = 140.
- Coinciden → equivalentes. Reducir no cambió el valor.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Evaluar expresiones algebraicas
Evaluar expresiones algebraicas
La central tiene un taxímetro artesanal para probar tarifas. Arriba muestra la expresión —por ejemplo 30k + 80— y cuando entra un viaje, la k recibe los kilómetros como una ficha que cae en su casilla. El taxímetro entonces despliega el cálculo paso a paso: sustituye, multiplica y suma hasta el precio final. Para un viaje de 4 km: 30·4 + 80 = 120 + 80 = 200 pesos.
Evaluar una expresión es sustituir la variable por su valor y calcular respetando la jerarquía: primero el producto, luego la suma. El valor cambia con la entrada: la misma expresión 30k + 80 produce 110 en k = 1, 200 en k = 4, 290 en k = 7… una expresión, toda una columna de precios. Y siempre hay que sustituir en TODOS los términos donde aparece la variable, no solo en uno.
En el simulador correrás viajes distintos y verás el cálculo abrirse paso a paso; en la misión, evaluarás la tarifa del encargo con el taxímetro tapado.
El taxímetro de prueba
Evaluar: sustituir y calcular
1) Sustituye la variable por su valor. Donde dice k, escribe el número del viaje. En 30k + 80 con k = 4: 30·4 + 80. Cuidado: 30k es 30·k, NO 30 + k.
2) Respeta la jerarquía: primero el producto. 30·4 = 120, y solo entonces sumas: 120 + 80 = 200. Sumar antes de multiplicar (como 30·(4+80)) da un resultado equivocado.
3) Una expresión, muchos valores. El valor numérico cambia con la entrada: 30k + 80 da 110 en k=1, 200 en k=4, 290 en k=7. La misma fórmula llena toda una tabla de precios.
- Sustituye: reemplaza cada aparición de la variable por su valor (entre paréntesis si ayuda).
- Multiplica primero: resuelve los productos (P·k) antes que las sumas.
- Suma después: combina los resultados para el valor final.
- Pon la unidad: el resultado es un precio en pesos (RD$).
| Expresión | k | Valor |
|---|---|---|
| 30k + 80 | 4 | 200 |
| 30k + 80 | 1 | 110 |
| 25k + 50 | 6 | 200 |
| 40k + 30 | 3 | 150 |
Error a evitar: sumar antes de multiplicar. 30k + 80 con k = 4 NO es (30+80)·4 ni 30·(4+80): es 30·4 primero (120) y luego + 80 = 200. Y sustituye en TODOS los términos, no solo en el primero.
El origen. La palabra "evaluar" viene de dar valor: sustituir y calcular. Esta operación es tan antigua como las tablas babilónicas, donde los escribas calculaban resultados para distintos valores de entrada. Con el simbolismo de Viète y Descartes, evaluar una expresión se volvió mecánico: la misma fórmula, aplicada a muchos números, genera una tabla completa de resultados. Esa idea —una regla que transforma entradas en salidas— es la semilla del concepto de función, que estudiarás más adelante.
Quién lo usa hoy y para qué. Evaluar fórmulas mueve la tecnología:
- 📊Hojas de cálculo. Cada vez que cambias un dato, Excel re-evalúa todas las fórmulas que dependen de él: evaluación masiva en tiempo real.
- 🎮Videojuegos. El motor evalúa fórmulas de posición, daño y puntaje en cada cuadro, sustituyendo las variables del momento.
- 💳Facturación. Apps de transporte, electricidad y comercios evalúan la tarifa para cada cliente con su consumo del mes.
- 🤖Inteligencia artificial. Una red neuronal evalúa millones de expresiones del tipo Pk + B (y más complejas) para producir cada respuesta.
Ejemplo 1 — Evaluar con jerarquía
Evalúa 30k + 80 para k = 4.
- Sustituyo: 30·4 + 80.
- Producto primero: 30·4 = 120.
- Suma: 120 + 80 = 200 pesos.
Ejemplo 2 — El error de sumar primero
¿Por qué 30k + 80 con k = 4 NO es 440?
- 440 sale de (30 + 80)·4: se sumó antes de multiplicar. ✗
- La jerarquía exige 30·4 primero (120).
- Correcto: 120 + 80 = 200.
Ejemplo 3 — Misma fórmula, otro viaje
Evalúa 30k + 80 para k = 1 y k = 7.
- k = 1: 30·1 + 80 = 110.
- k = 7: 30·7 + 80 = 210 + 80 = 290.
- Una expresión, valores distintos según la entrada.
Ejemplo 4 — Comparar dos tarifas
Tarifa A: 20k + 100. Tarifa B: 35k + 40. ¿Cuál conviene para 4 km?
- A en k=4: 20·4 + 100 = 80 + 100 = 180.
- B en k=4: 35·4 + 40 = 140 + 40 = 180.
- Empatan en 180 pesos para 4 km. (En viajes más cortos conviene A; más largos, B.)
Ejemplo 5 — Sustituir en TODOS los términos
Evalúa 25k + 50 para k = 6 sin olvidar nada.
- Sustituyo: 25·6 + 50 (la k solo está en 25k).
- 25·6 = 150; 150 + 50 = 200 pesos.
- Olvidar el +50 daría 150: hay que sumar todos los términos.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Responde una a una: cada respuesta se marca en verde o rojo. Necesitas 80% para aprobar. Pulsa Reintentar para barajar.