Patrones numéricos
Patrones numéricos
En el taller de caretas de La Vega, las capas del desfile se cosen en fila: la capa 1 lleva 5 cascabeles, la capa 2 lleva 8, la capa 3 lleva 11… Cada capa suma siempre 3 a la anterior. Eso es un patrón numérico: una secuencia regida por una regla fija.
Cuando la regla es "sumar siempre lo mismo", a ese "lo mismo" lo llamamos paso (o diferencia constante). El truco del taller: no hace falta coser todas las capas para saber cuántos cascabeles lleva la capa 15. El paso permite saltar directo a cualquier capa con inicio + paso·(n−1).
En el simulador moverás el inicio y el paso y verás la hilera reescribirse; en la misión, con casi todas las capas tapadas, tendrás que deducir cuántos cascabeles lleva la capa pedida.
La hilera de cascabeles
La regla que predice cualquier capa
1) El paso es la diferencia constante. En una progresión aritmética cada término se obtiene del anterior sumando siempre el mismo d. Si las diferencias entre términos consecutivos NO son iguales, no hay un único paso: no es este tipo de patrón.
2) El (n − 1) es clave. La capa 1 ya tiene el inicio, sin sumar nada. De la capa 1 a la capa n se dan n − 1 pasos, no n. Por eso la capa 10 es a + d·9, no a + d·10.
3) Con dos capas cualquiera se halla el paso. Si conoces la capa p y la capa q, el paso es d = (valor de q − valor de p) / (q − p): el cambio de valor repartido entre el número de pasos dados.
- Identifica el inicio a: ¿cuántos cascabeles lleva la capa 1?
- Identifica el paso d: resta dos capas consecutivas (capa 2 − capa 1).
- Escribe la regla: capa n = a + d·(n − 1).
- Sustituye n y calcula: primero el paréntesis, luego la multiplicación, luego la suma.
| Hilera | Regla | Capa pedida |
|---|---|---|
| 5, 8, 11, 14… (a=5, d=3) | 5 + 3·(n−1) | capa 10 = 5 + 27 = 32 |
| 4, 9, 14, 19… (a=4, d=5) | 4 + 5·(n−1) | capa 8 = 4 + 35 = 39 |
| 2, 8, 14, 20… (a=2, d=6) | 2 + 6·(n−1) | capa 7 = 2 + 36 = 38 |
| 7, 11, 15, 19… (a=7, d=4) | 7 + 4·(n−1) | capa 6 = 7 + 20 = 27 |
Error a evitar: usar a + d·n en vez de a + d·(n−1). De la capa 1 a la capa n hay n−1 saltos, no n. Con a=5, d=3, la capa 10 es 5 + 3·9 = 32, NO 5 + 3·10 = 35.
El origen. Las progresiones aritméticas son tan viejas como la escritura: tablillas babilónicas de hace 4000 años ya sumaban diferencias constantes para repartir cosechas y predecir crecidas del río. La anécdota más famosa es la del niño Carl Friedrich Gauss: a los 9 años su maestro mandó sumar del 1 al 100 para tenerlos callados; Gauss notó que 1+100, 2+99, 3+98… siempre dan 101, y en segundos respondió 5050. Había descubierto cómo sumar una progresión aritmética entera.
Quién lo usa hoy y para qué. Las secuencias con paso constante están en todas partes:
- 🎭Artesanía y carnaval. Coreografías, hileras de cuentas y bordados se diseñan con patrones: saber cuánto material lleva la pieza n evita comprar de más o de menos.
- 🏗️Construcción. Escalones que suben una altura fija, hileras de bloques, gradas de un estadio: cada nivel añade la misma cantidad, una progresión aritmética pura.
- 💰Finanzas. El interés simple agrega el mismo monto cada período: el saldo crece como una progresión aritmética, base de cuotas y depreciaciones.
- 🎵Música y ritmo. Compases y subdivisiones regulares son patrones de paso constante; los programadores de luces y sonido los usan para sincronizar shows.
Ejemplo 1 — Calcular una capa lejana
Hilera 5, 8, 11, 14… ¿Cuántos cascabeles lleva la capa 10?
- a = 5 (capa 1); d = 8 − 5 = 3 (paso).
- capa 10 = 5 + 3·(10 − 1) = 5 + 3·9 = 5 + 27 = 32.
- Compruebo: de la capa 1 a la 10 hay 9 saltos de 3 = 27, más el inicio 5 ✓.
Ejemplo 2 — Hallar el paso con dos capas consecutivas
La capa 1 lleva 7 cascabeles y la capa 2 lleva 11. ¿Y la capa 6?
- a = 7; d = 11 − 7 = 4.
- capa 6 = 7 + 4·(6 − 1) = 7 + 20 = 27.
- Reviso la hilera: 7, 11, 15, 19, 23, 27 ✓.
Ejemplo 3 — Paso con dos capas NO consecutivas
La capa 2 lleva 10 y la capa 5 lleva 22. ¿Cuál es el paso?
- De la capa 2 a la 5 hay 5 − 2 = 3 saltos.
- El valor cambió 22 − 10 = 12 en esos 3 saltos.
- d = 12 / 3 = 4. (El inicio sería a = 10 − 4·(2−1) = 6.)
Ejemplo 4 — El pedido del desfile
El comparsa pide capas con 4, 7, 10, 13… cascabeles. ¿Cuántos para la capa 12?
- a = 4; d = 7 − 4 = 3.
- capa 12 = 4 + 3·(12 − 1) = 4 + 3·11 = 4 + 33 = 37.
- No hubo que coser 11 capas: la regla saltó directo. Así cotiza el taller.
Ejemplo 5 — El error del +n
Con a = 6 y d = 5, ¿la capa 4 lleva 26 o 21?
- Tentación: 6 + 5·4 = 26 (cuenta 4 saltos, ¡uno de más!).
- Correcto: 6 + 5·(4 − 1) = 6 + 15 = 21.
- De la capa 1 a la 4 hay solo 3 saltos: 6, 11, 16, 21 ✓.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Patrones geométricos
Patrones geométricos
El borde de una careta veguense se decora por etapas: la etapa 1 es 1 rombo, la etapa 2 son 3 rombos, la etapa 3 son 5… La figura crece simétrica ante tus ojos. Eso es un patrón geométrico: la regla actúa sobre figuras que se repiten, giran, reflejan o crecen por etapas.
Pero hay un truco poderoso: si cuentas las piezas de cada etapa obtienes 1, 3, 5, 7… — ¡una secuencia numérica! El dibujo y la secuencia son el mismo patrón con dos caras. Contar convierte el patrón geométrico en uno numérico, y entonces puedes predecir la etapa que quieras sin dibujarla.
En el simulador eliges el motivo y la regla de crecimiento, y el contador acumula la secuencia; en la misión, con las etapas avanzadas tapadas, predecirás cuántas piezas tendrá la etapa pedida.
El borde de la careta
Dibujo y número: el mismo patrón
1) Contar es traducir. Cada etapa geométrica tiene un número de piezas. Esa lista de conteos es una secuencia numérica: el patrón geométrico y el numérico son la misma cosa vista de dos maneras.
2) El incremento puede no ser 1. Rombos en cruz crecen 1, 3, 5, 7… (suman 2 cada vez). Si supones que crece de 1 en 1, te equivocas: hay que contar de verdad las piezas de las primeras etapas.
3) La etapa 1 es el inicio, no la etapa 0. La primera figura es la etapa 1 con su conteo c₁. De la etapa 1 a la etapa k hay k − 1 incrementos, igual que en los patrones numéricos.
- Dibuja o mira las primeras etapas y cuenta las piezas de cada una.
- Halla el incremento r: resta dos conteos consecutivos (etapa 2 − etapa 1).
- Escribe la regla: piezas(k) = c₁ + r·(k − 1).
- Predice la etapa pedida sustituyendo k, sin dibujarla.
| Borde | Conteos | Regla y etapa |
|---|---|---|
| Rombos impares | 1, 3, 5, 7… | 2k−1 → etapa 6 = 11 |
| Cuadrados +3 | 1, 4, 7, 10… | 3k−2 → etapa 5 = 13 |
| Triángulos +2 (desde 3) | 3, 5, 7, 9… | 2k+1 → etapa 7 = 15 |
| Estrellas +4 | 2, 6, 10, 14… | 4k−2 → etapa 4 = 14 |
Error a evitar: suponer que el conteo crece "de 1 en 1". En 1, 3, 5, 7… crece de 2 en 2. Cuenta las piezas reales de las primeras etapas antes de escribir la regla.
El origen. Los patrones geométricos decoran la humanidad desde siempre: los mosaicos de la Alhambra, las cenefas griegas y los tejidos taínos repiten y giran figuras con reglas exactas. Los matemáticos llaman números figurados a los que cuentan piezas de figuras que crecen: los triangulares (1, 3, 6, 10…) y los cuadrados (1, 4, 9, 16…) ya fascinaban a los pitagóricos hace 2500 años, que los formaban con piedritas para descubrir sus reglas.
Quién lo usa hoy y para qué. Convertir un dibujo que crece en una secuencia numérica es una herramienta viva:
- 🎭Diseño y artesanía. Bordados, mosaicos y cenefas se planifican contando piezas por etapa para presupuestar materiales con exactitud.
- 💻Gráficos por computadora. Los fractales y patrones generados por código repiten una regla geométrica etapa tras etapa para crear texturas y paisajes.
- 🏛️Arquitectura. Fachadas, escalinatas y cúpulas usan progresiones de figuras; predecir el conteo evita errores de construcción costosos.
- 🔬Ciencia. Cristales y panales crecen siguiendo patrones geométricos regulares: contar sus unidades modela cómo se forman.
Ejemplo 1 — De figura a secuencia
Etapa 1: 1 rombo. Etapa 2: 3 rombos. Etapa 3: 5 rombos. ¿La etapa 6?
- Conteos: 1, 3, 5… El incremento es 3 − 1 = 2.
- piezas(6) = 1 + 2·(6 − 1) = 1 + 10 = 11.
- Lo verifico extendiendo: 1, 3, 5, 7, 9, 11 ✓.
Ejemplo 2 — Incremento de 3
Cuadrados que crecen 1, 4, 7, 10… ¿La etapa 5?
- Incremento: 4 − 1 = 3.
- piezas(5) = 1 + 3·(5 − 1) = 1 + 12 = 13.
- Secuencia: 1, 4, 7, 10, 13 ✓.
Ejemplo 3 — Cuando la etapa 1 no es 1
Triángulos: 3, 5, 7, 9… ¿La etapa 7?
- c₁ = 3, incremento = 5 − 3 = 2.
- piezas(7) = 3 + 2·(7 − 1) = 3 + 12 = 15.
- El inicio no tiene que ser 1: aquí arranca en 3.
Ejemplo 4 — El borde de la careta grande
Estrellas que crecen 2, 6, 10, 14… ¿Cuántas en la etapa 8?
- c₁ = 2, incremento = 6 − 2 = 4.
- piezas(8) = 2 + 4·(8 − 1) = 2 + 28 = 30.
- El taller pide la tela exacta sin bordar las 8 etapas.
Ejemplo 5 — El error del "de 1 en 1"
Etapas 1, 3, 5… ¿La etapa 10 lleva 10 o 19 rombos?
- Tentación: pensar que la etapa 10 lleva 10 (crece de 1 en 1). Falso.
- Crece de 2 en 2: piezas(10) = 1 + 2·(10 − 1) = 1 + 18 = 19.
- Contar las primeras etapas evita el engaño.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Construcción de patrones
Construcción de patrones
La bordadora del taller ejecuta programas: le das un inicio y una regla, y ella borda la secuencia sobre la banda de tela, grupo a grupo. Construir un patrón es exactamente eso: fijar el primer término y una regla clara, y aplicarla sin excepciones.
Aquí está lo poderoso: la misma regla con distinto inicio —o el mismo inicio con distinta regla— produce secuencias diferentes. Esas dos elecciones, juntas, definen el patrón completo. Empezar en 2 sumando 3 da 2, 5, 8, 11…; empezar en 2 multiplicando por 3 da 2, 6, 18, 54… El mismo punto de partida, dos bandas distintas.
En el simulador programarás inicio y regla y verás la consecuencia; en la misión, con la banda apagada, deberás programar la máquina para que una puntada concreta tenga el valor que el cliente encargó.
La máquina bordadora
Dos elecciones definen toda la banda
1) Inicio + regla = patrón completo. Fijado el primer término y la regla, cada término siguiente queda determinado. No hay ambigüedad: la máquina aplica la regla sin saltarse ningún paso.
2) Aditivo vs. multiplicativo. "Sumar k" hace crecer la banda de forma pareja (progresión aritmética). "Multiplicar por k" la dispara (progresión geométrica): 2, 6, 18, 54 crece muchísimo más rápido que 2, 5, 8, 11.
3) Cambiar una elección cambia todo. Mismo inicio, distinta regla → otra banda. Misma regla, distinto inicio → otra banda. Por eso, para reproducir un patrón hay que conocer las DOS cosas.
- Fija el inicio: el primer término (puntada 1).
- Elige la regla: ¿sumar/restar un valor, o multiplicar/dividir por un valor?
- Aplica la regla sin excepciones para obtener cada término del anterior.
- Para saltar a la puntada n: si sumas, inicio + valor·(n−1); si multiplicas, inicio · valor^(n−1).
| Programa | Banda | Puntada 6 |
|---|---|---|
| inicio 2, sumar 3 | 2, 5, 8, 11, 14, 17 | 17 |
| inicio 2, multiplicar 2 | 2, 4, 8, 16, 32, 64 | 64 |
| inicio 3, sumar 4 | 3, 7, 11, 15, 19, 23 | 23 |
| inicio 1, multiplicar 3 | 1, 3, 9, 27, 81, 243 | 243 |
Error a evitar: confundir "sumar k" con "multiplicar por k". Empezando en 2: sumar 3 da 2, 5, 8…; multiplicar por 3 da 2, 6, 18… Son bandas muy distintas con el mismo inicio.
El origen. La idea de "una regla que genera una secuencia" es el corazón de los algoritmos, una palabra que viene del matemático persa Al-Juarismi (siglo IX). Construir términos aplicando una regla fija es lo que hace un programa de computadora en su forma más pura. La famosa sucesión de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8…) es un patrón construido con la regla "cada término es la suma de los dos anteriores", y aparece en la naturaleza una y otra vez.
Quién lo usa hoy y para qué. Construir secuencias con reglas mueve la tecnología:
- 🎭Máquinas de bordado y tejido. Las bordadoras y telares industriales ejecutan programas de puntadas; cada motivo es una regla repetida sobre la tela.
- 💻Programación. Los bucles que generan listas, contadores y animaciones son patrones construidos: inicio más una regla que se repite.
- 🎮Videojuegos. La dificultad que sube nivel a nivel, el daño que crece, las recompensas: todo se diseña con reglas de progresión aritméticas o geométricas.
- 🧬Biología y crecimiento. Poblaciones que se duplican y reproducciones celulares siguen reglas multiplicativas, un patrón geométrico construido por la vida misma.
Ejemplo 1 — Construir sumando
Inicio 2, regla "sumar 3". ¿Cómo queda la banda y la puntada 6?
- 2, 5, 8, 11, 14, 17 (cada una suma 3).
- Atajo: puntada 6 = 2 + 3·(6 − 1) = 2 + 15 = 17.
- Coincide con la banda construida ✓.
Ejemplo 2 — Construir multiplicando
Inicio 2, regla "multiplicar por 2". ¿La puntada 6?
- 2, 4, 8, 16, 32, 64 (cada una se duplica).
- Atajo: puntada 6 = 2 · 2^(6 − 1) = 2 · 32 = 64.
- Multiplicar dispara la banda mucho más que sumar.
Ejemplo 3 — Mismo inicio, dos reglas
Inicio 3. ¿Qué banda da "sumar 3" y qué banda da "multiplicar por 3"?
- Sumar 3: 3, 6, 9, 12, 15… crece parejo.
- Multiplicar por 3: 3, 9, 27, 81… se dispara.
- El mismo inicio con reglas distintas da patrones totalmente diferentes.
Ejemplo 4 — El encargo del cliente
El cliente quiere inicio 5 y que la puntada 6 valga 35. ¿Qué regla programar?
- Pruebo sumar d: 5 + d·5 = 35 → d·5 = 30 → d = 6.
- Programa: inicio 5, sumar 6 → 5, 11, 17, 23, 29, 35 ✓.
- Verifico la puntada 6: cuadra con el encargo.
Ejemplo 5 — Aplicar la regla sin saltarse pasos
Inicio 1, multiplicar por 3. ¿La puntada 4?
- 1, 3, 9, 27 (cada puntada triplica la anterior).
- Atajo: 1 · 3^(4 − 1) = 1 · 27 = 27.
- Si te saltas un paso, la banda entera sale mal.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Reconocimiento de patrones
Reconocimiento de patrones
Llega al taller un pedido a medio bordar: la banda muestra 4, 7, 10, 13… y un espacio en blanco al final. Nadie dejó la nota con la regla. Reconocer un patrón es deducir la regla a partir de los términos que sí están.
El método del taller: mira las diferencias entre términos consecutivos (¿son constantes? → patrón aditivo) o los cocientes (¿son constantes? → patrón multiplicativo). Y luego, lo más importante: verifica la regla contra TODOS los términos dados, no solo los dos primeros. Una regla tramposa puede acertar el inicio y fallar más adelante.
En el simulador probarás reglas candidatas que la máquina ejecuta término a término (verde si coincide, rojo si diverge); en la misión, sin chips de pista, deberás identificar la regla y completar el término que falta.
El pedido misterioso
Deducir y verificar la regla
1) Primero las diferencias. Resta términos consecutivos. Si la diferencia es siempre la misma, el patrón es aditivo y esa diferencia es el paso (4,7,10,13 → +3).
2) Si las diferencias no son constantes, prueba los cocientes. Divide cada término entre el anterior. Si el cociente es constante, el patrón es multiplicativo (3,6,12,24 → ×2).
3) Verifica contra TODOS los términos. Una regla puede acertar los dos primeros por casualidad y fallar en el tercero. La regla buena explica la banda entera; si falla en un solo término, no es la regla.
- Calcula las diferencias entre términos consecutivos.
- ¿Constantes? Sí → aditivo (paso = esa diferencia). No → sigue.
- Calcula los cocientes. ¿Constantes? Sí → multiplicativo (factor = ese cociente).
- Verifica la regla en toda la banda y úsala para completar el término que falta.
| Banda | Análisis | Regla y siguiente |
|---|---|---|
| 4, 7, 10, 13, ? | diferencias +3, +3, +3 | +3 → 16 |
| 3, 6, 12, 24, ? | cocientes ×2, ×2, ×2 | ×2 → 48 |
| 2, 7, 12, 17, ? | diferencias +5, +5, +5 | +5 → 22 |
| 5, 10, 20, 40, ? | cocientes ×2, ×2, ×2 | ×2 → 80 |
Error a evitar: ajustar la regla solo a los dos primeros términos. En 4, 7, 10… la regla "×" acierta a veces pero los cocientes no son constantes (7/4 = 1,75; 10/7 ≈ 1,43); verifica SIEMPRE contra todos los términos antes de decidir.
El origen. Reconocer patrones es quizá la habilidad matemática más antigua: los astrónomos babilónicos y mayas predijeron eclipses al notar que se repetían con un ritmo fijo. La revista Online Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS), fundada por Neil Sloane en 1964, guarda hoy más de 360,000 secuencias: si encuentras unos números misteriosos, puedes buscarlos y descubrir qué regla los genera.
Quién lo usa hoy y para qué. Deducir la regla detrás de unos datos es el motor de la era moderna:
- 🎭Restauración y réplica. Para reproducir un bordado o mosaico antiguo a medio conservar, los artesanos deducen la regla del patrón y completan lo que falta.
- 🤖Inteligencia artificial. El aprendizaje automático es, en el fondo, reconocer patrones en datos para predecir lo que viene: recomendaciones, traducciones, diagnósticos.
- 🔐Seguridad. Detectar patrones anómalos en transacciones bancarias delata fraudes; los antivirus reconocen patrones de código malicioso.
- 🌦️Pronósticos. El clima, las mareas y los mercados se predicen reconociendo regularidades en series de datos del pasado.
Ejemplo 1 — Patrón aditivo
Banda 4, 7, 10, 13, ? ¿Regla y término que falta?
- Diferencias: 7−4=3, 10−7=3, 13−10=3: constante.
- Regla: sumar 3. Término que falta: 13 + 3 = 16.
- Verifico: la regla explica toda la banda ✓.
Ejemplo 2 — Patrón multiplicativo
Banda 3, 6, 12, 24, ? ¿Regla y siguiente?
- Diferencias: 3, 6, 12 (no constantes).
- Cocientes: 6/3=2, 12/6=2, 24/12=2: constante.
- Regla: multiplicar por 2. Siguiente: 24·2 = 48.
Ejemplo 3 — La regla tramposa
En 2, 4, 8, 14… alguien dice "es multiplicar por 2". ¿Es cierto?
- ×2 acierta 2→4 y 4→8, pero 8·2 = 16 ≠ 14: falla.
- Diferencias: 2, 4, 6 (crecen de 2 en 2): no es aditivo simple ni ×2.
- Moraleja: verificar contra TODOS los términos delata la trampa.
Ejemplo 4 — Completar el pedido
El pedido marca 5, 10, 20, 40, ? cascabeles por capa. ¿Cuántos en la siguiente?
- Cocientes: 10/5=2, 20/10=2, 40/20=2: constante.
- Regla: multiplicar por 2. Siguiente: 40·2 = 80.
- El taller borda la capa que faltaba sin equivocarse.
Ejemplo 5 — Aditivo con paso 5
Banda 2, 7, 12, 17, ? ¿Regla y término que falta?
- Diferencias: 5, 5, 5: constante.
- Regla: sumar 5. Término que falta: 17 + 5 = 22.
- Cocientes (7/2=3.5…) no son constantes: confirma que es aditivo.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Relaciones
Relaciones
En el mostrador del taller entran encargos (1, 2, 3… caretas) y sale el precio en RD$: 350 por cada careta más 200 fijos por el diseño. Eso es una relación: a cada valor de entrada le asigna un valor de salida.
La misma relación se puede mostrar de tres maneras: una tabla (encargos y precios), un diagrama de flechas (cada entrada apunta a su salida) y una regla verbal o algebraica (precio = 350·caretas + 200). Son tres retratos de lo mismo. Y conocer la regla es lo más potente: permite hallar la salida de cualquier entrada nueva, incluso una que la tabla no muestre.
En el simulador cambiarás el precio unitario y el cargo fijo y verás las tres vistas actualizarse juntas; en la misión, con la registradora tapada, completarás celdas de la tabla y darás el precio de una entrada nueva.
La tarifa del taller
Una relación, tres caras
1) Entrada → salida. Una relación asigna a cada entrada exactamente una salida. En el taller: caretas → precio. La entrada manda; la salida responde según la regla.
2) Tabla, flechas y regla dicen lo mismo. La tabla lista algunas parejas; las flechas las dibujan; la regla las resume todas. Saber pasar de una vista a otra es entender la relación, no solo memorizar precios.
3) La regla cubre toda entrada nueva. La tabla termina; la regla no. Con precio = 350·caretas + 200 puedes responder el precio de 1, de 8 o de 100 caretas. El cargo fijo se suma una sola vez, no por cada careta.
- Identifica el unitario m: ¿cuánto sube el precio por cada careta más?
- Identifica el cargo fijo b: ¿qué se paga aunque sea por una sola careta (la parte que no cambia)?
- Escribe la regla: salida = m·entrada + b.
- Aplica la regla a la entrada pedida para hallar su salida.
| Encargo | Cálculo (350·x + 200) | Precio |
|---|---|---|
| 1 careta | 350·1 + 200 | 550 RD$ |
| 2 caretas | 350·2 + 200 | 900 RD$ |
| 3 caretas | 350·3 + 200 | 1250 RD$ |
| 5 caretas | 350·5 + 200 | 1950 RD$ |
Error a evitar: olvidar el cargo fijo (dar solo 350·caretas) o sumarlo por cada careta. El diseño se cobra UNA vez: precio = 350·caretas + 200, no 350·caretas ni (350+200)·caretas.
El origen. La idea de "relación" entre dos cantidades es la semilla del concepto de función, una de las ideas más importantes de toda la matemática. La palabra "función" la introdujo Leibniz en el siglo XVII, y Euler popularizó en el siglo XVIII la notación f(x) que usamos hoy. Tablas de entrada y salida ya aparecían en las tablillas babilónicas para convertir medidas y calcular intereses.
Quién lo usa hoy y para qué. Las relaciones entrada→salida están en cada pantalla:
- 🎭Talleres y comercios. Toda tarifa con un precio por unidad más un cargo fijo (diseño, instalación, envío) es una relación de este tipo.
- 📱Planes y servicios. Datos móviles, electricidad, agua: cargo base más consumo. Tu factura es la salida de una relación cuya entrada es lo que usaste.
- 💻Hojas de cálculo y bases de datos. Cada fórmula que toma una celda de entrada y produce un resultado es una relación; las computadoras procesan millones por segundo.
- 📐Conversiones. Cambiar de pesos a dólares, de grados a Fahrenheit, de millas a kilómetros: relaciones con regla fija que usamos a diario.
Ejemplo 1 — Aplicar la regla
Tarifa: 350 por careta + 200 de diseño. ¿Precio de 3 caretas?
- m = 350, b = 200: precio = 350·caretas + 200.
- precio(3) = 350·3 + 200 = 1050 + 200 = 1250 RD$.
- El cargo fijo se suma una sola vez ✓.
Ejemplo 2 — De la tabla a la regla
1 careta → 550; 2 caretas → 900. ¿Cuál es la regla?
- Por cada careta más, sube 900 − 550 = 350 → m = 350.
- Con 1 careta: 350·1 + b = 550 → b = 200.
- Regla: precio = 350·caretas + 200 ✓.
Ejemplo 3 — Una entrada que la tabla no muestra
Con precio = 350·caretas + 200, ¿cuánto cuestan 8 caretas?
- No hace falta agrandar la tabla: uso la regla.
- precio(8) = 350·8 + 200 = 2800 + 200 = 3000 RD$.
- La regla cubre cualquier entrada nueva.
Ejemplo 4 — La promoción del Carnaval
En promoción: 300 por careta + 150 de diseño. ¿Precio de 6 caretas?
- m = 300, b = 150.
- precio(6) = 300·6 + 150 = 1800 + 150 = 1950 RD$.
- Cambian los números, no la estructura de la relación.
Ejemplo 5 — El error de olvidar el cargo fijo
Con 350 por careta + 200, ¿2 caretas cuestan 700 o 900?
- Tentación: 350·2 = 700 (olvida el diseño).
- Correcto: 350·2 + 200 = 700 + 200 = 900 RD$.
- El cargo fijo SIEMPRE entra una vez.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Responde una a una: cada respuesta se marca en verde o rojo. Necesitas 80% para aprobar. Pulsa Reintentar para barajar.