Coordenadas cartesianas
Coordenadas cartesianas
En la mensajería de drones, el operador no puede decir «la casa está por ahí, cerca del colmado»: el dron necesita un nombre exacto para cada lugar. La solución es el plano cartesiano: dos rectas numéricas perpendiculares (el eje x horizontal y el eje y vertical) que se cruzan en el origen (0, 0), el parque central de la ciudad.
Con eso, cualquier casa se nombra con dos números: cuánto avanzar en horizontal (x, hacia el este) y cuánto en vertical (y, hacia el norte), siempre contando desde el origen. El par (x, y) es la dirección que el dron entiende.
En el simulador moverás el dron por la malla y verás su coordenada en vivo; en la misión, la cuadrícula irá sin números y tendrás que contar los pasos desde el origen tú mismo.
El radar del centro de control
Lo que el radar te estaba mostrando
1) Dos números bastan. Dos ejes perpendiculares y su origen permiten nombrar cualquier punto del plano con exactamente dos números: su distancia horizontal (x) y su distancia vertical (y) al origen.
2) El origen es (0, 0). Es el cruce de los ejes, el punto de partida. Si una coordenada vale 0, el punto está SOBRE un eje: (6, 0) está sobre el eje x; (0, 4) sobre el eje y.
3) Se cuenta desde el origen, contando espacios. No se cuentan las líneas de la malla ni se empieza en 1: se cuentan los pasos (los espacios) desde el cero hasta el punto.
- Parte del origen (0, 0), el cruce de los ejes.
- Cuenta en x primero: avanza la primera coordenada en horizontal (derecha si es positiva).
- Cuenta en y después: sube la segunda coordenada en vertical (arriba si es positiva).
- Escribe (x, y): el par ordenado, con la x siempre primero.
| Punto | Cómo llegar desde el origen | Lectura |
|---|---|---|
| (3, 2) | 3 al este, 2 al norte | tres a la derecha, dos arriba |
| (0, 0) | no te mueves | el origen |
| (6, 0) | 6 al este, 0 al norte | sobre el eje x |
| (0, 4) | 0 al este, 4 al norte | sobre el eje y |
Error a evitar: leer al revés, (y, x). El par SIEMPRE es (x, y): primero la horizontal, después la vertical. (3, 2) no es lo mismo que (2, 3).
El origen. El plano cartesiano lleva el nombre de René Descartes (Renatus Cartesius en latín, de ahí «cartesiano»), filósofo y matemático francés del siglo XVII. Cuenta la leyenda que, enfermo en cama, observó una mosca en el techo y se preguntó cómo describir su posición exacta con números: la respuesta fue medir su distancia a dos paredes. Así nació la idea de unir álgebra y geometría, base de la geometría analítica.
Quién lo usa hoy y para qué. Nombrar puntos con coordenadas mueve el mundo moderno:
- 📍GPS y mapas. Tu ubicación en Google Maps o Waze es un par de coordenadas (latitud, longitud): el mismo principio de Descartes sobre la esfera terrestre.
- 🛰️Reparto y logística. Apps de delivery y drones repartidores planean rutas usando las coordenadas de cada dirección para no perderse.
- 🎮Videojuegos y pantallas. Cada píxel de tu celular tiene una coordenada (x, y); los personajes se mueven cambiando esos dos números.
- 🩻Medicina e imágenes. Una tomografía localiza un tumor con coordenadas exactas para que el tratamiento apunte al punto correcto.
Ejemplo 1 — Ubicar un punto contando espacios
Lleva el dron a (4, 3).
- Parto del origen (0, 0).
- Cuento 4 espacios al este (no líneas: espacios).
- Desde ahí, 3 espacios al norte.
- El dron queda en (4, 3) ✓.
Ejemplo 2 — Leer la coordenada de un punto
Un punto está 5 a la derecha y 2 arriba del origen. ¿Su coordenada?
- Horizontal = x = 5.
- Vertical = y = 2.
- Se escribe (x, y) = (5, 2), la x primero.
Ejemplo 3 — El orden importa
¿Son (2, 6) y (6, 2) el mismo punto?
- (2, 6): 2 al este, 6 al norte.
- (6, 2): 6 al este, 2 al norte.
- Caen en celdas distintas: no son el mismo punto.
Ejemplo 4 — Un punto sobre el eje
El colmado está justo sobre la avenida del eje x, a 7 cuadras al este. ¿Coordenada?
- x = 7 (al este).
- No sube nada: y = 0.
- Coordenada (7, 0): está SOBRE el eje x.
Ejemplo 5 — Desde el origen
¿Dónde está el origen y cómo se nombra?
- Es el cruce de los dos ejes.
- No hay avance en x ni en y.
- Se nombra (0, 0): el punto de partida de todo conteo.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Pares ordenados
Pares ordenados
Un par ordenado (a, b) trae dos paquetes que parecen iguales pero no lo son: la dirección (3, 5) y la dirección (5, 3) usan los mismos números, pero el centro de control los manda a casas distintas. La palabra clave es ordenado: la primera componente SIEMPRE es x, la segunda SIEMPRE es y.
Por eso (3, 5) significa «3 al este, 5 al norte» y (5, 3) significa «5 al este, 3 al norte». Cambiar el orden cambia el destino. Solo hay una excepción: cuando las dos componentes son iguales, (a, a), el intercambio cae en el mismo punto de la diagonal.
En el simulador verás los dos drones gemelos volar a destinos distintos; en la misión, las direcciones irán ocultas y tendrás que asignar a cada dron su par correcto.
El doble pedido
Por qué el orden lo cambia todo
1) El par es ordenado. La primera componente es x (horizontal) y la segunda es y (vertical), siempre en ese orden. Por eso (3, 5) y (5, 3) son dos puntos distintos del plano.
2) La única excepción es (a, a). Cuando las dos componentes coinciden, intercambiarlas no cambia nada: (4, 4) sigue siendo (4, 4), sobre la diagonal.
3) Una sola componente decide. Cambiar solo el signo de x ya da otro punto: (3, 5) y (−3, 5) están a lados opuestos del eje y. Cada número del par cuenta.
- Compara las x: ¿la primera componente de uno coincide con la del otro?
- Compara las y: ¿coinciden las segundas componentes?
- Decide: son el mismo punto SOLO si coinciden AMBAS componentes en su posición.
- Ojo a la diagonal: (a, a) es el único par que no cambia al intercambiarlo.
| Par A | Par B | ¿Mismo punto? |
|---|---|---|
| (3, 5) | (5, 3) | No: x e y intercambiadas |
| (4, 4) | (4, 4) | Sí: a = b |
| (3, 5) | (−3, 5) | No: distinto signo en x |
| (2, 7) | (2, 7) | Sí: idénticos |
Error a evitar: pensar que (3, 5) y (5, 3) son el mismo punto «porque tienen los mismos números». El par es ORDENADO: salvo (a, a), intercambiar cambia el destino.
El origen. La idea de «par ordenado» parece obvia, pero formalizarla costó siglos. En 1921 el matemático polaco Kazimierz Kuratowski definió el par ordenado (a, b) usando solo conjuntos, dejando claro que (a, b) y (b, a) son objetos esencialmente distintos. Antes, Descartes ya usaba parejas de números para localizar puntos, pero fue la teoría de conjuntos la que dio al «orden» su base rigurosa: el primer elemento y el segundo no son intercambiables.
Quién lo usa hoy y para qué. Los pares ordenados están en todas partes:
- 🗺️Coordenadas geográficas. (latitud, longitud) es un par ordenado: invertirlo te manda al otro lado del planeta. El orden no es decorativo.
- 🖼️Píxeles de pantalla. Cada punto de una imagen es (columna, fila): cambiar el orden mueve el punto a otro lugar.
- 📊Datos y gráficas. Cada dato de un gráfico es un par (x, y): el eje horizontal y el vertical miden cosas distintas.
- ♟️Tableros y juegos. En ajedrez «e4» es una casilla concreta: columna y fila en orden fijo, como un par ordenado.
Ejemplo 1 — Mismos números, distinto punto
¿Son (3, 5) y (5, 3) el mismo punto?
- (3, 5): 3 al este, 5 al norte.
- (5, 3): 5 al este, 3 al norte.
- Las x difieren (3 vs 5): son puntos distintos.
Ejemplo 2 — El caso de la diagonal
¿Cambia (4, 4) si intercambio sus componentes?
- Intercambiar (4, 4) da (4, 4).
- Son idénticos: a = b.
- Es el único caso donde el orden no cambia el punto.
Ejemplo 3 — Una componente con signo
¿Son (3, 5) y (−3, 5) el mismo punto?
- Las y coinciden (5 y 5).
- Pero las x difieren: 3 y −3.
- Están a lados opuestos del eje y: distintos.
Ejemplo 4 — Dos paquetes cruzados
El paquete A va a (2, 6) y el B a (6, 2). ¿Puede un mismo dron entregarlos en la misma casa?
- (2, 6): 2 al este, 6 al norte.
- (6, 2): 6 al este, 2 al norte.
- Casas distintas: no, hacen falta dos rutas.
Ejemplo 5 — Decidir igualdad
¿Cuándo (a, b) = (c, d)?
- Solo si a = c (las x) Y b = d (las y).
- Ambas posiciones deben coincidir, no «los mismos números sueltos».
- (2, 7) = (2, 7) ✓; (2, 7) ≠ (7, 2) ✗.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Cuadrantes
Cuadrantes
Hasta ahora el dron solo iba al noreste del parque (números positivos). Pero la ciudad se extiende en las cuatro direcciones: hay casas al oeste (x negativa) y al sur (y negativa). Los dos ejes dividen el plano en cuatro cuadrantes, los cuatro sectores de la ciudad, y cada uno tiene su firma de signos.
El cuadrante I es (+, +): este y norte. El II es (−, +): oeste y norte. El III es (−, −): oeste y sur. El IV es (+, −): este y sur. Con solo mirar los signos del par, el operador sabe a qué sector va el dron — sin ver los números todavía. Y los puntos que caen sobre un eje (con x = 0 o y = 0) no pertenecen a ningún cuadrante.
En el simulador moverás el dron por los cuatro sectores y verás su cuadrante; en la misión, los números irán tapados y clasificarás el sector solo con los signos.
Los cuatro sectores de la ciudad
Las cuatro firmas de signos
1) Los ejes parten el plano en cuatro. Cada cuadrante se numera en sentido contrario a las agujas del reloj, empezando arriba a la derecha: I, II, III, IV.
2) Cada cuadrante es una firma de signos. El signo de x dice este (+) u oeste (−); el de y dice norte (+) o sur (−). Con los dos signos ya sabes el cuadrante, aunque no veas los números.
3) Los ejes no son de nadie. Si x = 0 o y = 0, el punto está sobre un eje y NO pertenece a ningún cuadrante: (0, 5) está sobre el eje y; (−4, 0) sobre el eje x; (0, 0) es el origen.
- Mira el signo de x: ¿positivo (este) o negativo (oeste)?
- Mira el signo de y: ¿positivo (norte) o negativo (sur)?
- Combina los dos signos y léelos en la tabla de firmas.
- Revisa los ceros: si alguna componente es 0, el punto está sobre un eje, sin cuadrante.
| Punto | Firma (x, y) | Sector |
|---|---|---|
| (4, 3) | (+, +) | Cuadrante I |
| (−5, 2) | (−, +) | Cuadrante II |
| (−2, −6) | (−, −) | Cuadrante III |
| (3, −5) | (+, −) | Cuadrante IV |
| (0, 4) | (0, +) | Sobre el eje y (sin cuadrante) |
Error a evitar: dar un cuadrante a un punto sobre un eje. (0, 4) o (−4, 0) tienen una componente nula: están SOBRE un eje y no pertenecen a ningún cuadrante.
El origen. La numeración de los cuadrantes en sentido contrario a las agujas del reloj (I arriba-derecha, luego II, III, IV) es una convención heredada de la trigonometría: los ángulos también se miden girando en ese sentido desde el eje x positivo. Así, el cuadrante I corresponde a los ángulos de 0° a 90°, el II de 90° a 180°, y así sucesivamente. Esta coherencia entre cuadrantes y ángulos viene desde los matemáticos que sistematizaron la geometría analítica tras Descartes, en el siglo XVIII.
Quién lo usa hoy y para qué. Pensar el plano en sectores con signo es de uso diario:
- 🧭Brújula y navegación. Noreste, noroeste, sureste y suroeste son, literalmente, los cuatro cuadrantes alrededor de un punto de referencia.
- 📈Gráficas con valores negativos. Pérdidas (abajo del eje) y ganancias (arriba) ubican los datos en distintos cuadrantes de un gráfico económico.
- 🎮Videojuegos. El centro de la pantalla suele ser el origen; el personaje se mueve por los cuatro cuadrantes según el signo de su posición.
- 🌡️Ciencia. Temperaturas bajo cero, profundidades bajo el nivel del mar: los signos sitúan cada medida en su región del plano.
Ejemplo 1 — Clasificar por signos
¿En qué cuadrante está (−5, 2)?
- x = −5: negativa (oeste).
- y = 2: positiva (norte).
- Firma (−, +) = Cuadrante II.
Ejemplo 2 — Tercer cuadrante
¿Y (−2, −6)?
- x = −2: negativa.
- y = −6: negativa.
- Firma (−, −) = Cuadrante III.
Ejemplo 3 — Sobre un eje
¿Cuadrante de (0, 4)?
- x = 0: el punto no está ni al este ni al oeste.
- Cae justo sobre el eje y.
- Ningún cuadrante: los ejes no pertenecen a ninguno.
Ejemplo 4 — Anunciar el sector sin los números
Un pedido llega con la firma (+, −). ¿A qué sector va el dron?
- x positiva: este.
- y negativa: sur.
- Sureste = Cuadrante IV, aunque no veamos los números.
Ejemplo 5 — Una sola componente no basta
«La x es positiva, así que es cuadrante I.» ¿Correcto?
- x positiva está en I (+,+) Y también en IV (+,−).
- Falta el signo de y para decidir.
- Hay que mirar las dos componentes, no una sola.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Gráficos en el plano cartesiano
Gráficos en el plano cartesiano
La hoja de ruta del día no es un dibujo: es una lista de coordenadas. El dron visita las paradas en orden y une cada una con la siguiente; al cerrar el recorrido, la poligonal se convierte en una figura reconocible — un rectángulo, un cuadrado, una casa. Marcar puntos y unirlos en orden traduce una lista de pares en un dibujo con sentido.
La traducción va en los dos sentidos: desde coordenadas puedes dibujar una figura, y desde una figura puedes leer las coordenadas de sus vértices. Y sobre la cuadrícula, contando los segmentos rectos entre paradas, calculas el perímetro de la ruta.
En el simulador ajustarás el ancho y el alto de una ruta rectangular y verás sus vértices y su perímetro; en la misión, la figura meta será una silueta fantasma y deberás programar los vértices.
La ruta de reparto
De la lista de pares al dibujo
1) Marcar y unir EN ORDEN. Una lista de pares se vuelve figura solo si los vértices se unen en el orden correcto. Si se desordenan, la poligonal se cruza y la figura no cierra.
2) La traducción va en dos sentidos. Desde coordenadas se dibuja la figura; desde una figura se leen las coordenadas de cada vértice. Es la misma idea de 8.1, ahora con varios puntos.
3) El perímetro se cuenta sobre la cuadrícula. Es la suma de los segmentos rectos del contorno. En un rectángulo de base b y altura h, el perímetro es 2(b + h): los dos lados horizontales más los dos verticales.
- Marca cada vértice: ubica los pares uno por uno (8.1).
- Une en orden: conecta vértice 1→2→3→4 y cierra volviendo al primero.
- Lee al revés: si te dan la figura, anota la coordenada de cada esquina.
- Perímetro: suma los segmentos rectos del contorno sobre la cuadrícula.
| Figura | Vértices | Perímetro |
|---|---|---|
| Rectángulo 4×2 | (0,0),(4,0),(4,2),(0,2) | 2(4+2) = 12 |
| Cuadrado 3×3 | (0,0),(3,0),(3,3),(0,3) | 2(3+3) = 12 |
| Rectángulo 5×3 | (0,0),(5,0),(5,3),(0,3) | 2(5+3) = 16 |
| Rectángulo 6×4 | (0,0),(6,0),(6,4),(0,4) | 2(6+4) = 20 |
Error a evitar: para el perímetro, contar los PUNTOS de la cuadrícula en vez de los segmentos, o sumar la diagonal como si fuera lado. El perímetro son los lados rectos del contorno, no los vértices ni los atajos.
El origen. Unir puntos para formar figuras es la base de la geometría computacional, una rama nacida con las computadoras en el siglo XX. Cuando una pantalla dibuja un polígono, en el fondo guarda una lista ordenada de vértices (pares de coordenadas) y los une en orden, exactamente como la ruta del dron. El orden de la lista decide la figura: cambiarlo produce un polígono distinto o uno que se cruza a sí mismo.
Quién lo usa hoy y para qué. Convertir coordenadas en figuras está por todas partes:
- 🗺️Mapas digitales. Cada país, calle o parque en un mapa es un polígono guardado como lista de coordenadas que el programa une y rellena.
- 🎮Gráficos y videojuegos. Los modelos 3D son miles de vértices con coordenadas; el motor los une en triángulos para dibujar el mundo.
- ✂️Diseño y corte. Una máquina de corte láser sigue una lista de puntos en orden para recortar exactamente el contorno pedido.
- 📐Arquitectura y planos. Cada plano de una casa es un conjunto de vértices con coordenadas: paredes y habitaciones son polígonos.
Ejemplo 1 — Dibujar desde coordenadas
Une en orden (0,0), (4,0), (4,2), (0,2). ¿Qué figura sale?
- Del origen avanzo 4 al este: lado inferior.
- Subo 2: lado derecho. Vuelvo 4 al oeste: lado superior.
- Bajo 2 al origen: cierra un rectángulo de 4×2.
Ejemplo 2 — Leer los vértices de una figura
Un cuadrado tiene esquinas en el origen y mide 3 de lado. ¿Sus vértices?
- (0,0) es una esquina.
- 3 al este: (3,0). 3 arriba: (3,3). Cierra en (0,3).
- Vértices: (0,0), (3,0), (3,3), (0,3).
Ejemplo 3 — Perímetro sobre la cuadrícula
¿Perímetro del rectángulo (0,0),(5,0),(5,3),(0,3)?
- Base = 5, altura = 3.
- Dos bases + dos alturas: 5 + 5 + 3 + 3.
- P = 2(5 + 3) = 16 cuadras.
Ejemplo 4 — El orden importa
¿Por qué unir (0,0),(4,2),(4,0),(0,2) NO da el rectángulo?
- Del origen salta a (4,2): una diagonal.
- Luego baja a (4,0) y sube a (0,2): la ruta se cruza.
- La figura no cierra limpia: hay que unir en orden de contorno.
Ejemplo 5 — Del dibujo al perímetro
Una ruta rectangular mide 6 de base y 4 de alto. ¿Perímetro?
- P = 2(base + altura).
- P = 2(6 + 4) = 2·10.
- P = 20 cuadras.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Gráficas por tabulación
Gráficas por tabulación
El plan de vuelo del dron es una regla: por cada cuadra que avanza al este (x), sube una cantidad fija al norte, más un despegue inicial. Por ejemplo y = 2x + 1 significa «sube 2 por cada cuadra, partiendo de 1». Esa regla genera una tabla: para cada valor de x se calcula su y.
Al marcar cada par (x, y) de la tabla, se enciende una baliza en el mapa. Y cuando el dron vuela la trayectoria, todas las balizas quedan alineadas: una regla de primer grado siempre dibuja una recta. La tabla es el puente entre la fórmula y el dibujo.
En el simulador cambiarás la regla y verás nacer la recta; en la misión, las y de la tabla estarán tapadas con «?» y deberás evaluarlas tú para encender las balizas correctas.
El plan de vuelo
De la regla a la recta
1) Tabular es evaluar. Para cada x se calcula y = m·x + b. La tabla recoge esos pares (x, y), uno por fila.
2) No olvides b. Después de multiplicar m·x hay que SUMAR b. Saltarse el despegue inicial es el error más común al tabular.
3) Primer grado = recta. Si la regla es y = mx + b (sin x² ni potencias), los pares siempre se alinean en una línea recta. La m dice cuán empinada sube; la b, dónde corta el eje y.
- Elige los valores de x: incluye negativos, el 0 y positivos.
- Multiplica m·x: con cuidado del signo si x es negativo.
- Suma b: el despegue inicial; nunca lo olvides.
- Anota (x, y) y grafica: los pares se alinean en una recta.
| Regla | x | y = mx + b |
|---|---|---|
| y = 2x + 1 | 0 | 2·0 + 1 = 1 |
| y = 2x + 1 | 3 | 2·3 + 1 = 7 |
| y = 3x − 2 | 2 | 3·2 − 2 = 4 |
| y = x + 3 | −2 | −2 + 3 = 1 |
Error a evitar: calcular m·x y olvidar sumar b. En y = 2x + 1 con x = 3, la y es 2·3 + 1 = 7, no 6. Y con x negativo, cuida el signo: 2·(−2) = −4, no +4.
El origen. Tabular una regla para luego graficar es la idea que une el álgebra con la geometría, el corazón de la geometría analítica que Descartes y Fermat fundaron en el siglo XVII. Antes, una ecuación y una curva parecían mundos separados; ellos mostraron que cada ecuación entre x e y describe una figura en el plano, y que las reglas de primer grado describen siempre rectas. Tabular es la forma más directa de ver esa conexión: calcular puntos y descubrir la forma que dibujan.
Quién lo usa hoy y para qué. Pasar de una regla a una gráfica está en todas partes:
- 📈Pronósticos y tendencias. Una regla simple proyecta ventas o gastos futuros; tabular valores muestra la línea de tendencia.
- 🔬Experimentos de ciencia. Se mide y para varios x, se tabula y se grafica para descubrir la relación entre dos variables.
- 📊Hojas de cálculo. Programas como Excel generan una columna de y a partir de una fórmula y dibujan la gráfica de un clic.
- 🛰️Trayectorias. El plan de vuelo de un dron o un satélite se calcula evaluando reglas de posición para distintos instantes.
Ejemplo 1 — Evaluar la regla
Con y = 2x + 1, ¿cuál es y cuando x = 3?
- Multiplico: 2·3 = 6.
- Sumo b: 6 + 1 = 7.
- El par es (3, 7); la baliza va ahí.
Ejemplo 2 — No olvidar b
Con y = 3x − 2, ¿y cuando x = 2?
- 3·2 = 6.
- Resto 2 (b = −2): 6 − 2 = 4.
- Par (2, 4). Saltarse el −2 daría 6, mal.
Ejemplo 3 — Cuidado con x negativo
Con y = 2x − 1, ¿y cuando x = −1?
- 2·(−1) = −2 (¡no +2!).
- −2 − 1 = −3.
- Par (−1, −3).
Ejemplo 4 — Tabla completa de un plan de vuelo
Tabula y = 2x + 1 para x = 0, 1, 2, 3.
- x=0: 0+1 = 1. x=1: 2+1 = 3.
- x=2: 4+1 = 5. x=3: 6+1 = 7.
- Balizas (0,1),(1,3),(2,5),(3,7): alineadas en una recta.
Ejemplo 5 — ¿Recta o curva?
¿La gráfica de y = 3x es una recta o una curva?
- Es de primer grado (solo x, sin x²).
- Los pares (0,0),(1,3),(2,6) están alineados.
- Es una recta que pasa por el origen.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Responde una a una: cada respuesta se marca en verde o rojo. Necesitas 80% para aprobar. Pulsa Reintentar para barajar.