Triangulos y su clasificacion
Triangulos y su clasificacion
En la herreria de Villa Mella, fabricar una cercha empieza con tres varillas. Pero no cualquier trio de varillas cierra: si una es demasiado larga, las otras dos no alcanzan a tocarse y la pieza queda abierta. La regla del taller es la desigualdad triangular: cada lado debe medir menos que la suma de los otros dos.
Cuando la pieza cierra, se clasifica de dos maneras a la vez. Por sus lados: equilatero (tres iguales), isosceles (dos iguales) o escaleno (todos distintos). Por sus angulos: acutangulo (los tres agudos), rectangulo (uno de 90) u obtusangulo (uno mayor de 90). Y siempre, sin importar la forma, los tres angulos interiores suman 180.
En el simulador soldaras piezas variando las varillas y veras cuando cierran; en la mision, fabricaras la pieza exacta que pide la orden de trabajo.
La mesa de varillas
Las dos leyes de todo triangulo
1) Existencia (desigualdad triangular). Tres longitudes forman triangulo solo si cada una es menor que la suma de las otras dos. Basta comprobar el lado mayor: si el mayor ya es menor que la suma de los otros dos, las tres desigualdades se cumplen.
2) Suma de angulos = 180. Sin importar el tamano ni la forma, los tres angulos interiores siempre suman 180. Por eso, conocidos dos angulos, el tercero queda determinado: el faltante = 180 menos los otros dos.
Dos clasificaciones independientes. Por lados: equilatero, isosceles, escaleno. Por angulos: acutangulo, rectangulo, obtusangulo. Un mismo triangulo tiene una etiqueta de cada familia (p.ej. isosceles rectangulo). Un triangulo no puede tener dos angulos rectos ni dos obtusos: ya pasaria de 180.
- Existe? Toma el lado mayor y compara con la suma de los otros dos: si mayor < suma, cierra.
- Por lados: cuenta cuantos lados son iguales: 3 -> equilatero, 2 -> isosceles, 0 -> escaleno.
- Por angulos: mira el angulo mayor: <90 -> acutangulo, =90 -> rectangulo, >90 -> obtusangulo.
- Angulo faltante: si conoces dos angulos, el tercero = 180 menos su suma.
| Pieza (lados o angulos) | Por lados | Por angulos |
|---|---|---|
| 6, 6, 6 | Equilatero | Acutangulo (60, 60, 60) |
| 5, 5, 6 | Isosceles | Acutangulo |
| 3, 4, 5 | Escaleno | Rectangulo (90) |
| angulos 40 y 75 | - | Falta 180 - 115 = 65 |
| 3, 3, 8 | No cierra: 3 + 3 = 6 < 8 | |
Error a evitar: creer que tres longitudes cualesquiera forman triangulo. Si el lado mayor es igual o mayor que la suma de los otros dos (p.ej. 3, 3, 8), las varillas NO cierran: no existe el triangulo.
El origen. El triangulo es la primera figura que la geometria griega estudio a fondo: Euclides, en sus Elementos (siglo III a.C.), demuestra ya la suma de los angulos y la desigualdad triangular. Mucho antes, los constructores de Egipto y Mesopotamia usaban cuerdas con nudos para formar triangulos rectos exactos (la "cuerda de 12 nudos": lados 3-4-5). La rigidez del triangulo lo hizo la pieza favorita de toda estructura.
Quien lo usa hoy y para que. El triangulo sostiene el mundo construido:
- 🏠Techos y cerchas. Las armaduras triangulares de los techos de zinc dominicanos reparten el peso sin deformarse: un cuadrado se ladea, un triangulo no.
- 🌉Puentes y torres. Las celosias de puentes y torres de alta tension son redes de triangulos: la unica figura rigida con barras articuladas.
- 📡Triangulacion y GPS. Ubicar un punto a partir de distancias a tres referencias (satelites o antenas) es resolver triangulos: asi funciona el GPS del celular.
- 🎬Graficos 3D. Todo modelo de videojuego o cine se dibuja como una malla de miles de triangulos: la tarjeta grafica solo sabe pintar triangulos.
Ejemplo 1 — Cierra o no cierra?
Tres varillas de 4, 5 y 8 cm. Forman triangulo?
- Lado mayor: 8. Suma de los otros dos: 4 + 5 = 9.
- 8 < 9: el mayor es menor que la suma de los otros dos.
- Si cierra. Lados todos distintos -> escaleno.
Ejemplo 2 — Un trio que no cierra
Varillas de 2, 3 y 7 cm.
- Lado mayor: 7. Suma de los otros dos: 2 + 3 = 5.
- 7 > 5: el mayor pasa de la suma de los otros dos.
- No cierra: las varillas quedan abiertas, no existe el triangulo.
Ejemplo 3 — Clasificar por lados y angulos
Una pieza de lados 5, 5, 8 con un angulo de 106 entre los lados iguales.
- Dos lados iguales (5 y 5) -> isosceles.
- El angulo mayor mide 106 > 90 -> obtusangulo.
- Pieza: isosceles obtusangulo.
Ejemplo 4 — El angulo que falta en la cercha
En una cercha de techo, dos angulos de la base miden 35 cada uno. Cuanto mide el angulo de la cumbre?
- Los tres angulos suman 180.
- Base: 35 + 35 = 70.
- Cumbre = 180 - 70 = 110 (obtusangulo, y por la base isosceles).
Ejemplo 5 — Equilatero y sus angulos
Una pieza de tres varillas iguales de 6 cm. Cuanto mide cada angulo?
- Tres lados iguales -> equilatero, y sus tres angulos son iguales.
- 180 / 3 = 60 cada uno.
- Todo equilatero es ademas acutangulo (60 < 90).
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Rectas notables de un triangulo
Rectas notables de un triangulo
Cuando la grua del taller iza una cercha, hay un solo punto del que la pieza cuelga perfectamente horizontal: su centro de equilibrio, el baricentro. Colgada de cualquier otro punto, se inclina. Ese punto magico es el cruce de las tres medianas del triangulo.
Las medianas no son las unicas rectas notables. Cada triangulo tiene cuatro familias: medianas (del vertice al punto medio del lado opuesto), alturas (del vertice perpendiculares al lado opuesto), mediatrices (perpendiculares por el punto medio de cada lado) y bisectrices (que parten cada angulo en dos). Lo asombroso: en cada familia, las tres rectas se cortan en un mismo punto, un centro con su propia propiedad.
En el simulador trazaras las familias y veras sus centros; en la mision, hallaras el punto de izado de una pieza nueva promediando sus vertices.
El centro de la pieza
Cuatro familias, cuatro centros
1) Cada familia concurre en un centro. Las tres medianas se cortan en el baricentro (centro de equilibrio). Las tres alturas en el ortocentro. Las tres mediatrices en el circuncentro (equidista de los tres vertices). Las tres bisectrices en el incentro (equidista de los tres lados).
2) El baricentro es el promedio de los vertices. Se calcula sin dibujar: suma las coordenadas x y divide entre 3; igual con las y. Ademas divide cada mediana en razon 2:1 (dos partes del lado del vertice por una del lado opuesto), no por la mitad.
3) No confundas familias. La mediana va al punto medio del lado; la altura es perpendicular al lado. Son rectas distintas (salvo en el equilatero, donde todas coinciden).
- Anota los vertices: A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC).
- Promedia las x: Gx = (xA + xB + xC) / 3.
- Promedia las y: Gy = (yA + yB + yC) / 3.
- El baricentro es (Gx, Gy): el punto de izado balanceado.
| Familia de rectas | Centro | Propiedad |
|---|---|---|
| Medianas (al punto medio) | Baricentro | Centro de equilibrio; promedio de vertices |
| Alturas (perpendiculares) | Ortocentro | Reune las tres alturas |
| Mediatrices | Circuncentro | Equidista de los vertices |
| Bisectrices | Incentro | Equidista de los lados |
Error a evitar: pensar que el baricentro esta "en el medio del dibujo" o que divide la mediana por la mitad. Se calcula promediando los vertices y divide cada mediana en razon 2:1.
El origen. Las rectas notables aparecen en la geometria griega: Arquimedes (siglo III a.C.) estudio el baricentro al investigar centros de gravedad de figuras planas, fundando la estatica. Las cuatro concurrencias (baricentro, ortocentro, circuncentro, incentro) se conocian desde Euclides, pero fue Euler en el siglo XVIII quien descubrio que tres de esos centros estan siempre alineados: la famosa "recta de Euler".
Quien lo usa hoy y para que. Los centros del triangulo trabajan en la ingenieria real:
- 🏗️Centro de gravedad. Gruas, montacargas y barcos calculan el baricentro de cada carga para izarla y estibarla sin que se vuelque.
- 📡Circuncentro y cobertura. Para cubrir tres pueblos con una sola antena equidistante se busca el circuncentro del triangulo que forman.
- ✈️Diseno y balance. En alas, drones y robots, ubicar el centro de masa (baricentro de la estructura) es clave para que vuelen o caminen estables.
- 🗺️Mapas y mallas. Los baricentros de triangulos se usan para suavizar mallas y ubicar etiquetas en el centro de regiones en cartografia digital.
Ejemplo 1 — Baricentro de un triangulo
Vertices A(0,0), B(6,0), C(0,6). Halla el baricentro.
- Gx = (0 + 6 + 0)/3 = 6/3 = 2.
- Gy = (0 + 0 + 6)/3 = 6/3 = 2.
- Baricentro = (2, 2): punto de izado balanceado.
Ejemplo 2 — Mediana vs altura
Que recta va del vertice al PUNTO MEDIO del lado opuesto?
- La que va al punto medio es la mediana.
- La que cae perpendicular al lado opuesto es la altura.
- Salvo en el equilatero, mediana y altura de un mismo vertice son distintas.
Ejemplo 3 — Que centro es cada uno
Donde se cortan las tres mediatrices?
- Las mediatrices se cortan en el circuncentro.
- Equidista de los tres vertices: es el centro de la circunferencia que pasa por ellos.
- Las bisectrices, en cambio, dan el incentro (equidista de los lados).
Ejemplo 4 — Punto de izado de una cercha
Una cercha tiene vertices A(0,0), B(9,0), C(3,6). De que punto la cuelga la grua para que quede horizontal?
- El punto de equilibrio es el baricentro.
- Gx = (0 + 9 + 3)/3 = 12/3 = 4.
- Gy = (0 + 0 + 6)/3 = 6/3 = 2 -> iza en (4, 2).
Ejemplo 5 — La razon 2:1 de la mediana
El baricentro divide cada mediana por la mitad?
- No: la divide en razon 2:1.
- La parte del lado del vertice mide el doble que la del lado opuesto.
- Por eso el baricentro queda mas cerca del lado que del vertice.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Teorema de Pitagoras
Teorema de Pitagoras
Para alcanzar una ventana, el taller apoya una escalera contra la pared. La escalera, el piso y el muro forman un triangulo rectangulo: el angulo entre piso y muro es de 90, los dos lados que lo forman son los catetos (la distancia al pie del muro y la altura alcanzada) y la escalera es la hipotenusa, el lado mas largo, frente al angulo recto.
El teorema de Pitagoras dice algo asombroso: el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Con eso, conocidos dos lados, el tercero queda determinado: c = raiz de (a^2 + b^2). Asi el taller pide la escalera del largo exacto, sin que se quede corta ni sobre.
En el simulador moveras el pie y la altura y veras los cuadrados llenarse; en la mision, pediras la escalera del largo justo para una ventana.
La escalera segura
El cuadrado de la hipotenusa
1) Solo en el triangulo rectangulo. El teorema vale cuando hay un angulo de 90. La hipotenusa (c) es el lado opuesto al angulo recto, siempre el mas largo; los catetos (a y b) son los lados que forman el angulo recto.
2) Para hallar la hipotenusa: eleva cada cateto al cuadrado, suma, y saca la raiz: c = raiz de (a^2 + b^2). No sumes los lados sin elevar: c no es a + b.
3) Para hallar un cateto (caso inverso): conocida la hipotenusa y un cateto, se RESTA: a = raiz de (c^2 - b^2). Aqui el cuadrado mayor es el de la hipotenusa, asi que se resta, no se suma.
- Verifica el angulo recto: Pitagoras solo sirve en triangulos rectangulos.
- Identifica: los dos catetos (forman el angulo recto) y la hipotenusa (la opuesta).
- Hipotenusa: c = raiz de (a^2 + b^2). Cateto: a = raiz de (c^2 - b^2).
- Calcula y verifica: el resultado debe tener sentido (la hipotenusa es la mayor).
| Datos | Calculo | Resultado |
|---|---|---|
| catetos 3 y 4 | raiz de (9 + 16) = raiz de 25 | c = 5 |
| catetos 6 y 8 | raiz de (36 + 64) = raiz de 100 | c = 10 |
| catetos 5 y 12 | raiz de (25 + 144) = raiz de 169 | c = 13 |
| hipotenusa 13, cateto 5 | raiz de (169 - 25) = raiz de 144 | cateto = 12 |
Error a evitar: sumar los lados sin elevarlos al cuadrado (c = a + b) u olvidar la raiz (dar a^2 + b^2 en vez de c). Con 3 y 4: a + b = 7 esta MAL; lo correcto es raiz de 25 = 5.
El origen. El resultado lleva el nombre de Pitagoras de Samos (siglo VI a.C.), pero ya lo usaban antes: tablillas babilonicas como la "Plimpton 322" listan ternas pitagoricas mil anos antes, y los constructores egipcios trazaban angulos rectos con la cuerda de nudos 3-4-5. La escuela pitagorica le dio la primera demostracion general; hoy se conocen mas de 400 demostraciones distintas del mismo teorema.
Quien lo usa hoy y para que. Pitagoras esta en todas partes:
- 🪜Construccion. Albaniles y herreros comprueban esquinas rectas y calculan largos de vigas, escaleras y tensores con la regla 3-4-5.
- 🛰️GPS y distancias. La distancia en linea recta entre dos puntos del mapa se calcula con Pitagoras sobre sus coordenadas.
- 📺Pantallas. El tamano de un televisor o celular es su diagonal: la hipotenusa del rectangulo de la pantalla (ancho y alto son los catetos).
- 🎮Videojuegos y graficos. Calcular que tan lejos esta un objeto del personaje, o la longitud de un vector, es aplicar Pitagoras millones de veces por segundo.
Ejemplo 1 — Hallar la hipotenusa
Catetos de 3 m y 4 m. Cuanto mide la hipotenusa?
- c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25.
- c = raiz de 25 = 5 m.
- La hipotenusa (5) es mayor que cada cateto: tiene sentido.
Ejemplo 2 — Otra terna conocida
Catetos de 6 m y 8 m.
- c^2 = 36 + 64 = 100.
- c = raiz de 100 = 10 m.
- No vale c = 6 + 8 = 14: hay que elevar al cuadrado primero.
Ejemplo 3 — Caso inverso: hallar un cateto
La hipotenusa mide 13 m y un cateto 5 m. Cuanto mide el otro cateto?
- a^2 = c^2 - b^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144.
- a = raiz de 144 = 12 m.
- Aqui se RESTA (no se suma): el cuadrado mayor es el de la hipotenusa.
Ejemplo 4 — La escalera para la ventana
La ventana esta a 12 m de alto y el pie de la escalera queda a 5 m del muro. Que largo debe tener la escalera?
- Catetos: 5 (pie) y 12 (altura).
- c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169.
- c = raiz de 169 = 13 m: ese es el largo exacto.
Ejemplo 5 — Cuidado: no es rectangulo
Un triangulo de lados 5, 6 y 7 no tiene angulo recto. Sirve Pitagoras?
- Pitagoras solo vale en triangulos rectangulos.
- Comprobacion: 5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61, pero 7^2 = 49: no coinciden.
- Como no hay angulo recto, no se aplica el teorema.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Demostracion del teorema de Pitagoras
Demostracion del teorema de Pitagoras
Saber que c^2 = a^2 + b^2 es una cosa; entender por que nunca falla es otra. El soldador del taller lo demuestra con chapa: recorta cuatro triangulos rectangulos iguales (de catetos a y b) y dos marcos cuadrados identicos, cada uno de lado a + b.
En el primer marco acomoda los cuatro triangulos dejando libre un solo cuadrado, de lado c (la hipotenusa): su area es c^2. En el segundo, reacomoda los mismos cuatro triangulos dejando libres dos cuadrados, de lados a y b: areas a^2 y b^2. Como los dos marcos son iguales y las piezas son las mismas, el espacio libre tiene que ser igual en ambos. Por eso c^2 = a^2 + b^2, sin importar la forma del triangulo.
En el simulador haras ambos acomodos y moveras un control para cambiar el triangulo y ver que la prueba siempre funciona; en la mision, declararas el area libre.
El rompecabezas del soldador
Por que la igualdad nunca falla
1) Dos marcos iguales. Ambos cuadrados miden a + b de lado, asi que tienen la misma area total: (a+b)^2. Y en los dos colocamos los mismos cuatro triangulos rectangulos, que ocupan el mismo espacio: 4 veces ab/2 = 2ab.
2) Lo que sobra es igual. Area libre = area del marco menos los triangulos = (a+b)^2 - 2ab. Desarrollando: a^2 + 2ab + b^2 - 2ab = a^2 + b^2. En un acomodo ese hueco es un cuadrado de lado c (area c^2); en el otro, dos cuadrados de areas a^2 y b^2. Como el hueco es el mismo, c^2 = a^2 + b^2.
3) Vale para CUALQUIER triangulo rectangulo. En ningun paso usamos numeros concretos: a y b son cualquier par de catetos. Por eso el teorema es general, no una casualidad del 3-4-5.
- Marco: cuadrado de lado a + b. Su area es (a+b)^2.
- Los 4 triangulos: cada uno tiene area ab/2; los cuatro juntos, 4 x ab/2 = 2ab.
- Area libre: (a+b)^2 - 2ab = a^2 + b^2 (los 2ab se cancelan).
- Conclusion: ese hueco es c^2 en un acomodo y a^2 + b^2 en el otro, asi que c^2 = a^2 + b^2.
| a, b | Marco (a+b)^2 | 4 triangulos = 2ab | Libre = c^2 |
|---|---|---|---|
| 3, 4 | 49 | 24 | 25 |
| 6, 8 | 196 | 96 | 100 |
| 5, 12 | 289 | 120 | 169 |
| 2, 3 | 25 | 12 | 13 |
Error a evitar: creer que la demostracion solo sirve para el 3-4-5, o calcular el area libre como (a+b)^2 sin restar los cuatro triangulos. El area libre SIEMPRE es (a+b)^2 - 2ab = a^2 + b^2, para cualquier a y b.
El origen. La demostracion por reacomodo de areas es muy antigua: aparece en el clasico chino Zhoubi Suanjing (el "diagrama de la hipotenusa", hsuan-thu) y en la geometria hindu de Bhaskara, que acompano su figura con una sola palabra: "Mira!". Euclides dio una demostracion distinta en los Elementos (Proposicion I.47). Hoy se catalogan mas de 400 demostraciones, incluida una del presidente estadounidense James Garfield.
Quien lo usa hoy y para que. Demostrar (no solo usar) es el corazon de las matematicas:
- 🧩Pruebas visuales. Las demostraciones "sin palabras" por reacomodo de piezas se usan para ensenar y para convencer de un vistazo.
- 🔒Seguridad informatica. La criptografia que protege tus claves se apoya en teoremas demostrados: si la prueba falla, el sistema es inseguro.
- 🏗️Ingenieria confiable. Un puente se calcula con formulas demostradas; "parece que funciona" no basta cuando hay vidas en juego.
- 🤖Demostracion asistida. Hoy hay programas que verifican demostraciones matematicas paso a paso, garantizando que no haya errores ocultos.
Ejemplo 1 — El area libre del marco
Triangulos de catetos 3 y 4. Cual es el area libre del marco?
- Marco: (3+4)^2 = 7^2 = 49.
- 4 triangulos: 2 x 3 x 4 = 24.
- Area libre = 49 - 24 = 25 = c^2 (y c = 5).
Ejemplo 2 — Coincide con a^2 + b^2
Verifica el area libre con la suma de cuadrados.
- a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25.
- Da lo mismo que (a+b)^2 - 2ab = 49 - 24 = 25.
- Por eso el cuadrado libre de lado c tiene area 25.
Ejemplo 3 — No olvides restar los triangulos
Catetos 6 y 8. Por que el area libre no es 196?
- 196 = (6+8)^2 es el marco COMPLETO, no el hueco.
- Hay que restar los 4 triangulos: 2 x 6 x 8 = 96.
- Area libre = 196 - 96 = 100 = c^2 (c = 10).
Ejemplo 4 — La chapa del soldador
El soldador usa triangulos de catetos 5 y 12. Que area de chapa queda libre en el marco?
- Marco: (5+12)^2 = 17^2 = 289.
- 4 triangulos: 2 x 5 x 12 = 120.
- Libre = 289 - 120 = 169 = c^2 (c = 13).
Ejemplo 5 — Por que es general
Vale la demostracion solo para el 3-4-5?
- No: en (a+b)^2 - 2ab = a^2 + b^2 nunca usamos numeros concretos.
- a y b pueden ser cualquier par de catetos.
- Por eso c^2 = a^2 + b^2 vale para todo triangulo rectangulo.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Construccion de triangulos
Construccion de triangulos
Un cliente encarga una cercha y entrega sus medidas. El herrero la construye con regla y compas: la regla traza el lado base, el compas abre a cada medida y dibuja arcos; donde los arcos se cruzan queda el vertice. Pero no cualquier juego de datos sirve: los datos correctos determinan un unico triangulo, y los datos imposibles no producen ninguno.
Tres conjuntos de datos garantizan un triangulo unico: LLL (los tres lados), LAL (dos lados y el angulo comprendido entre ellos) y ALA (dos angulos y el lado comun). En LLL hay que comprobar antes la desigualdad triangular: si un lado es mayor o igual que la suma de los otros dos, los arcos del compas no llegan a cruzarse y el triangulo no existe.
En el simulador construiras con regla y compas y veras cuando los arcos no cruzan; en la mision, decidiras si una orden es construible y con que criterio.
El plano del cliente
Cuando los datos determinan un triangulo
1) Tres criterios que determinan UN triangulo. LLL: dados los tres lados. LAL: dos lados y el angulo entre ellos. ALA: dos angulos y el lado que comparten. Con cualquiera de estos datos, el triangulo queda fijo: no hay dos triangulos distintos con esos mismos datos.
2) LLL exige la desigualdad triangular. Tres lados solo construyen si cada uno es menor que la suma de los otros dos. Si no, los arcos del compas no se cruzan: no hay vertice, no hay triangulo.
3) Cuidado con los datos que NO determinan. Tres angulos (AAA) fijan la forma pero no el tamano: hay infinitos triangulos semejantes. Dos lados y un angulo NO comprendido (LLA) puede dar dos triangulos distintos (caso ambiguo). Por eso hacen falta tres datos bien elegidos.
- Mira los datos: son tres lados (LLL), dos lados y el angulo entre ellos (LAL) o dos angulos y un lado (ALA)?
- Si es LLL: comprueba la desigualdad triangular (lado mayor < suma de los otros dos).
- Construye: regla para la base, compas para abrir las medidas; el cruce de arcos da el vertice.
- Si no cumple o faltan datos: no hay triangulo unico (o no existe).
| Datos | Determina un triangulo? |
|---|---|
| LLL: 3, 4, 5 | Si: 3+4=7 > 5, unico |
| LLL: 2, 2, 9 | No: 2+2=4 < 9, no cierra |
| LAL: lados 5 y 7, angulo 60 entre ellos | Si, unico |
| AAA: angulos 60, 60, 60 | Solo la forma: infinitos tamanos |
Error a evitar: creer que cualquier terna de lados construye un triangulo. En LLL hay que comprobar la desigualdad triangular: 2, 2, 9 NO construye porque 2 + 2 = 4 es menor que 9.
El origen. Construir figuras "con regla y compas" es el metodo de la geometria griega: los Elementos de Euclides empiezan justo construyendo un triangulo equilatero (Proposicion I.1). Durante dos mil anos, "construir" significo lograrlo con esas dos herramientas. Recien en el siglo XIX se demostro que algunos problemas (como trisecar un angulo cualquiera) son imposibles solo con regla y compas.
Quien lo usa hoy y para que. Construir con datos exactos es ingenieria pura:
- 📐Dibujo tecnico y CAD. Los programas de diseno (AutoCAD, SolidWorks) construyen piezas a partir de datos LLL, LAL o ALA, igual que el compas.
- 🏗️Cerchas y armaduras. El herrero y el ingeniero fijan cada triangulo de una estructura con medidas que deben cumplir la desigualdad: si no, la pieza no cierra.
- 🧵Patrones y corte. Sastres y carpinteros trazan plantillas triangulares con regla y compas para que las piezas encajen.
- 🛰️Topografia. Los agrimensores ubican puntos por triangulacion: miden dos angulos y un lado (ALA) y "construyen" el resto del terreno.
Ejemplo 1 — LLL que si construye
Tres lados 3, 4 y 5. Se puede construir?
- Lado mayor 5; suma de los otros dos 3 + 4 = 7.
- 5 < 7: cumple la desigualdad triangular.
- Si construye, y por LLL el triangulo es unico.
Ejemplo 2 — LLL que no construye
Tres lados 2, 2 y 9.
- Lado mayor 9; suma de los otros dos 2 + 2 = 4.
- 9 > 4: viola la desigualdad triangular.
- No construye: los arcos del compas no se cruzan.
Ejemplo 3 — Por que tres angulos no bastan
Solo se dan los angulos 50, 60 y 70 (AAA).
- Suman 180, asi que la forma es valida.
- Pero el tamano no esta fijado: cabe grande o pequeno.
- AAA da infinitos triangulos semejantes, no uno solo.
Ejemplo 4 — La orden del cliente
El cliente pide una cercha de lados 5, 7 y 13 m. Se puede fabricar?
- Lado mayor 13; suma de los otros dos 5 + 7 = 12.
- 13 > 12: no cumple la desigualdad.
- No se puede: hay que avisar al cliente que cambie una medida.
Ejemplo 5 — Elegir el criterio
El cliente da dos lados (6 y 8) y el angulo de 90 entre ellos. Que criterio es?
- Dos lados y el angulo comprendido entre ellos: es LAL.
- LAL determina un triangulo unico.
- Aqui ademas es rectangulo; la cercha queda perfectamente fijada.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Responde una a una: cada respuesta se marca en verde o rojo. Necesitas 80% para aprobar. Pulsa Reintentar para barajar.