Los números enteros
Los números enteros
Una expedición científica explora una fosa oceánica con un sumergible de investigación. En el centro de control hay una sola regla para describirlo todo: la superficie del mar es el 0. El dron de apoyo vuela a +40 m; el sumergible desciende a −250 m. Con los números naturales (1, 2, 3…) no alcanza: necesitas números que digan también hacia qué lado del cero estás.
Esos son los números enteros: los positivos (+1, +2, +3…), el cero y los negativos (−1, −2, −3…). El signo no es un adorno: es información. +40 y −40 están igual de lejos del cero, pero en mundos opuestos: uno en el aire, otro bajo el agua.
Y hay una regla de oro que en el océano se entiende sola: más profundo = menor. Estar en −7 es estar por debajo de −4, así que −7 < −4. En el simulador vas a recorrer esta regla vertical con el sumergible y comprobarlo con tus propios ojos.
El Panel de Inmersión
Lo que el panel te estaba mostrando
El conjunto de los números enteros se llama y reúne tres familias:
1) Cada entero tiene un opuesto. Es su reflejo al otro lado del cero: el opuesto de +5 es −5 y el de −3 es +3. Están a la misma distancia del 0, en sentidos contrarios. El opuesto del 0 es el propio 0.
2) El orden se lee en la recta. En la regla vertical, más abajo = menor; en la recta horizontal, más a la izquierda = menor. Por eso todo negativo es menor que 0 y que cualquier positivo, y entre dos negativos es menor el que está más lejos del cero: .
3) El cero es la frontera. No es positivo ni negativo: es el punto de referencia desde el que se mide todo lo demás. Cambiar de "mundo" (de aire a agua, de ganancia a deuda) es cruzar el cero.
- Traducir la situación a un entero: elige el cero de referencia, asigna + a un sentido y − al contrario. "12 m bajo el mar" → −12; "3 °C sobre cero" → +3.
- Hallar el opuesto: cambia el signo y conserva la distancia al cero: .
- Comparar dos enteros: ubícalos en la recta; es menor el que queda más a la izquierda (o más abajo).
- Ordenar varios: primero los negativos (del más lejano al cero al más cercano), luego el 0, luego los positivos.
| Caso | Regla | Ejemplo |
|---|---|---|
| positivo vs negativo | el positivo siempre es mayor | |
| dos positivos | mayor el de mayor magnitud | |
| dos negativos | mayor el más cercano al cero | |
| con el cero | 0 supera a todo negativo |
Ejemplo del libro: ordenar −3, +5, −8, 0, +1 de menor a mayor → −8 < −3 < 0 < +1 < +5.
El origen. Los números negativos nacieron lejos de Europa. En la China antigua (hace más de 2,000 años) los comerciantes calculaban con varillas rojas y negras: unas para lo que tenían, otras para lo que debían. En la India, Brahmagupta (siglo VII) escribió las primeras reglas formales para operar con "fortunas" (positivos) y "deudas" (negativos). Europa tardó siglos en aceptarlos: hasta el siglo XVII muchos matemáticos los llamaban "números absurdos" y los descartaban de las soluciones. Hoy están en cualquier app del clima.
Quién lo usa hoy y para qué. Los enteros son el idioma estándar para todo lo que tiene dos sentidos respecto a una referencia:
- 🏦Banca. Tu saldo es un entero con signo: +120 es dinero a favor, −80 es sobregiro. Los sistemas bancarios procesan millones de estos enteros por segundo.
- 🌡️Meteorología. Las temperaturas bajo cero (−5 °C) y los pronósticos del clima dependen de la recta de los enteros, con el 0 °C como frontera del hielo.
- 🕑Husos horarios. El planeta se coordina con enteros: UTC−4 (República Dominicana), UTC+9 (Japón). Aviones y servidores sincronizan así sus relojes.
- 🏗️Arquitectura y ascensores. Los sótanos son pisos negativos (−1, −2, −3): el botón del ascensor es una recta de enteros en vertical, igual que tu columna de inmersión.
- 💻Programación. El tipo de dato int existe en casi todos los lenguajes: los videojuegos, los GPS y los sistemas de los sumergibles reales guardan posiciones y alturas como enteros con signo.
Ejemplo 1 — Traducir situaciones a enteros
Escribe con un entero: (a) 7 °C bajo cero; (b) un depósito de 120 pesos; (c) el tercer sótano; (d) 350 m sobre el nivel del mar.
- Elijo la referencia (el cero): 0 °C, saldo 0, planta baja, nivel del mar.
- Asigno el signo: bajo cero / deuda / sótano / bajo el mar → −; lo contrario → +.
- (a) −7 · (b) +120 · (c) −3 · (d) +350.
- Verifico que cada signo cuenta la historia correcta: −7 está "del lado frío" del cero. ✓
Ejemplo 2 — El opuesto de un entero
Halla el opuesto de +9, de −12 y de 0.
- El opuesto cambia el signo y conserva la distancia al cero: .
- : nueve unidades al otro lado del cero.
- : ojo, el opuesto de un negativo es positivo.
- : el cero es su propio opuesto, no tiene "otro lado".
Ejemplo 3 — Comparar dos negativos
¿Cuál es mayor: −4 o −7?
- Ubico ambos en la recta: −7 queda más a la izquierda (más profundo) que −4.
- Más a la izquierda = menor, así que .
- Conclusión: −4 es mayor, porque está más cerca del cero.
- Truco del océano: a −4 m hay menos profundidad que a −7 m; el que está menos hundido "va ganando".
Ejemplo 4 — Ordenar un grupo de enteros
Ordena de menor a mayor: +2, −5, 0, −1, +7.
- Separo por familias: negativos {−5, −1}, el cero, positivos {+2, +7}.
- Negativos: más lejos del cero = menor → −5 < −1.
- Positivos: +2 < +7.
- Encadeno todo: −5 < −1 < 0 < +2 < +7.
Ejemplo 5 — El reporte de posiciones de la flota
El dron vuela a +8 m, la boya flota en 0, el buzo de apoyo está a −3 m y el sumergible a −9 m. ¿Quién está más abajo? ¿Quiénes son opuestos si un segundo dron sube a +3?
- Traduzco el reporte: +8, 0, −3, −9.
- El menor es el más profundo: −9 → el sumergible está más abajo.
- Orden completo: −9 < −3 < 0 < +8.
- El segundo dron (+3) y el buzo (−3) son opuestos: misma distancia al cero (3 m), mundos contrarios.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Valor absoluto
Valor absoluto
En la Expedición Abismo hay una pregunta que control repite cada minuto: "¿a qué distancia de la superficie estás?". Para la cuerda de rescate, para la presión, para el tiempo de emergencia… da igual si el que reporta es el dron en el aire o el sumergible en la fosa: lo que importa es cuántos metros lo separan del 0, no de qué lado está.
Esa distancia es el valor absoluto. El sumergible en −6 está a |−6| = 6 metros de la superficie; el dron en +4, a |+4| = 4. El valor absoluto le quita el signo a la posición y deja solo la magnitud.
Ojo a la trampa clásica: −6 es menor que +4 como número (está más abajo en la regla), pero su valor absoluto es mayor (está más lejos de la superficie). Número y distancia cuentan historias distintas, y este tema te enseña a no confundirlas.
El Medidor de Distancia
Lo que el medidor te estaba mostrando
El valor absoluto de un entero es su distancia al cero en la recta, y una distancia nunca es negativa:
1) Dos números, una misma cuerda. Un número y su opuesto tienen el mismo valor absoluto: . Por eso la ecuación tiene dos soluciones: x = +5 y x = −5.
2) El valor absoluto no ordena igual que la recta. Entre negativos, el de mayor valor absoluto es el número menor (está más hundido): pero .
3) Solo el cero mide cero. únicamente cuando x = 0; y con k negativo no tiene solución: ninguna cuerda mide −3 metros.
- Calcular |a|: si a es positivo o cero, déjalo igual; si es negativo, quítale el signo: .
- Comparar distancias: calcula los valores absolutos y compara esos resultados (ya sin signos).
- Resolver |x| = k: si k > 0, hay dos soluciones (x = k y x = −k); si k = 0, solo x = 0; si k < 0, no hay solución.
- Cuidado con −|a|: el signo de fuera se aplica DESPUÉS: .
| Expresión | Cálculo | Resultado |
|---|---|---|
| positivo: queda igual | 7 | |
| negativo: se le quita el signo | 7 | |
| el cero está a distancia cero | 0 | |
| primero |−7| = 7, luego el − de fuera | −7 |
Ejemplo del libro: y : los opuestos comparten valor absoluto.
El origen. La idea de "magnitud sin signo" se usó durante siglos, pero el concepto formal es sorprendentemente reciente: el término valor absoluto y la notación |x| con sus dos barras se consolidaron en el siglo XIX — la notación la introdujo Karl Weierstrass en 1841, el mismo matemático que puso rigor al análisis moderno. Antes, los textos hablaban de "el número tomado absolutamente", sin símbolo propio.
Quién lo usa hoy y para qué. Cada vez que a un sistema le importa el tamaño del error y no su dirección, ahí está |x|:
- 🏭Ingeniería de tolerancias. Una pieza de 50 mm con tolerancia ±0.1 se acepta si |medida − 50| ≤ 0.1: el control de calidad es valor absoluto puro.
- 🧪Laboratorios. El error absoluto de una medición es |valor medido − valor real|: da igual si te pasaste o te quedaste corto, importa cuánto.
- 📡GPS y navegación. Las distancias entre coordenadas se construyen con valores absolutos (y sus primos, las normas): tu mapa calcula |x| miles de veces por viaje.
- 🌊Robótica submarina real. Los ROV oceanográficos controlan la profundidad con |posición − objetivo|: si la diferencia supera el umbral, el motor corrige. Igual que tu cuerda de rescate.
Ejemplo 1 — Calcular valores absolutos
Halla , y .
- : −15 es negativo → le quito el signo → 15.
- : +9 es positivo → queda igual → 9.
- : el cero está a distancia cero del cero → 0.
- Verifico: los tres resultados son ≥ 0, como toda distancia. ✓
Ejemplo 2 — ¿Quién está más lejos de la superficie?
El sumergible está en −6 m y el dron en +4 m. ¿Cuál de los dos necesita más cuerda? ¿Y cuál posición es menor como número?
- Distancias: y .
- Como 6 > 4, el sumergible está más lejos: necesita más cuerda.
- Como números: (el negativo está más abajo).
- Conclusión doble: −6 es el número menor, pero el de mayor valor absoluto. Dos preguntas, dos respuestas.
Ejemplo 3 — Resolver
- Busco los números a distancia 8 del cero.
- Hacia arriba: x = +8. Hacia abajo: x = −8.
- Dos soluciones: .
- Si además me dicen "bajo el agua" (x < 0), me quedo solo con x = −8.
Ejemplo 4 — El orden de los negativos con |x|
Ordena −2, −9 y −5 de menor a mayor y compara con sus valores absolutos.
- En la recta: −9 < −5 < −2 (más profundo = menor).
- Valores absolutos: |−9| = 9, |−5| = 5, |−2| = 2.
- Como distancias: |−2| < |−5| < |−9|: ¡el orden se invierte!
- Regla práctica: entre negativos, mayor |x| = número menor.
Ejemplo 5 — Cuidado con el signo de fuera:
- Primero lo de adentro: .
- Luego aplico el signo exterior: .
- . No es +4: el − de fuera no desaparece.
- En cambio : el orden de las operaciones lo cambia todo.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Adición y sustracción de enteros
Adición y sustracción de enteros
En la Expedición Abismo, el sumergible nunca llega a su destino de un solo movimiento: ejecuta una secuencia de maniobras. "Desciende 5 m" es sumar −5; "suelta lastre y sube 2 m" es sumar +2. La posición final es la suma del nivel inicial con todas las maniobras.
Y cuando control ordena deshacer una maniobra —"cancela ese descenso de 5 m"— el piloto no inventa nada nuevo: ejecuta la maniobra opuesta (+5). Esa es exactamente la sustracción: restar un entero es sumar su opuesto.
Las reglas de este tema caben en dos líneas: con el mismo signo, sumas las magnitudes y conservas el signo; con signos distintos, restas las magnitudes y te quedas con el signo del de mayor valor absoluto. En el simulador las verás dibujadas como flechas sobre la regla de inmersión.
La Bitácora de Maniobras
Lo que la bitácora te estaba mostrando
Cada flecha de la bitácora es un entero que se suma. De ahí salen las dos reglas de la adición:
Dos descensos seguidos se acumulan: . Un descenso y una subida compiten, y gana el más largo: .
La sustracción es la maniobra de deshacer: . Restar +5 es bajar 5; restar −5 es subir 5, porque deshaces un descenso. Y una maniobra seguida de su opuesta deja al sumergible donde estaba: .
- Si la operación es una resta, conviértela en suma del opuesto: .
- Mira los signos de los sumandos: ¿son iguales o distintos?
- Iguales → suma las magnitudes y conserva ese signo. Distintos → resta la magnitud menor de la mayor.
- El resultado lleva el signo del número de mayor valor absoluto.
| Caso | Qué haces | Ejemplo |
|---|---|---|
| Mismo signo | sumas magnitudes, conservas el signo | |
| Distinto signo | restas magnitudes, signo del mayor | |
| Resta | sumas el opuesto del sustraendo | |
| Opuestos | se anulan |
Ejemplo del libro: ; y . Sumar 0 no cambia nada: es el neutro de la adición.
El origen. Sumar cantidades "a favor" y "en contra" nació del comercio: los mercaderes de Venecia y Florencia (siglos XIII–XV) llevaban libros con haberes y deudas, y Fibonacci, en su Liber Abaci (1202), ya interpretaba un resultado negativo como una deuda. Siglos antes, Brahmagupta (India, s. VII) había escrito las primeras reglas formales para sumar y restar "fortunas" y "deudas": las mismas reglas de signos que usas en esta página.
Quién lo usa hoy y para qué. La suma de enteros es la pieza básica de cualquier sistema que acumula movimientos:
- 📒Contabilidad. Toda empresa suma enteros a diario: ingresos (+) y gastos (−). El "balance" es, literalmente, una bitácora de maniobras sobre el cero.
- 🔋Gestión de energía. Una batería suma cargas (+) y consumos (−); los sistemas de un sumergible real calculan así cuánta reserva queda antes de emerger.
- 🛗Control de ascensores. El controlador suma pisos subidos y bajados, con sótanos negativos, exactamente como tu regla vertical.
- 🎮Videojuegos. Los puntos de vida son una suma continua de enteros: daño recibido (−) y curación (+). El motor del juego resuelve miles de estas sumas por segundo.
Ejemplo 1 — Mismo signo:
- Los dos sumandos son negativos: mismo signo.
- Sumo las magnitudes: 6 + 4 = 10.
- Conservo el signo común: −.
- . Dos descensos seguidos se acumulan.
Ejemplo 2 — Distinto signo:
- Un positivo y un negativo: signos distintos.
- Resto las magnitudes: 5 − 3 = 2.
- Gana el de mayor valor absoluto: , así que el signo es −.
- .
Ejemplo 3 — Restar es sumar el opuesto:
- Convierto la resta: .
- Signos distintos: resto magnitudes, 8 − 5 = 3.
- El de mayor valor absoluto es −8 → signo −.
- .
Ejemplo 4 — Restar un negativo:
- Restar −3 es sumar su opuesto, +3.
- .
- Mismo signo: sumo magnitudes.
- . Deshacer un descenso de 3 te sube 3.
Ejemplo 5 — Bitácora completa de una inmersión
El sumergible está en −2 m. La bitácora ordena: desciende 7 m, suelta lastre y sube 4 m. ¿Posición final?
- Traduzco la bitácora a enteros: .
- Primera maniobra (mismo signo): .
- Segunda maniobra (distinto signo): .
- El sumergible termina en −5 m, cinco metros bajo la superficie.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Multiplicación y división de enteros
Multiplicación y división de enteros
Para inmersiones largas, el piloto de la Expedición Abismo no programa una maniobra gigante: programa etapas idénticas. "Cuatro etapas de −3 m" es : el sumergible baja 12 m. Multiplicar es repetir la misma maniobra; dividir es repartir un descenso total en etapas iguales: si hay que bajar 12 m en 4 etapas, cada una es .
¿Y la famosa regla de los signos? Es la lógica de repetir o deshacer. Repetir una subida da subida: . Repetir un descenso da descenso: . Pero deshacer (multiplicar por un negativo) invierte la maniobra: deshacer un descenso te deja arriba, y por eso .
En el simulador verás las etapas como una escalera de descenso dibujada sobre la regla de inmersión: tantos escalones como etapas, todos del mismo tamaño.
El Programador de Etapas
Lo que la escalera te estaba mostrando
Para multiplicar (o dividir) dos enteros, trabajas en dos pisos separados: primero las magnitudes, luego el signo:
En una frase: signos iguales → resultado positivo; signos distintos → resultado negativo. La división obedece la misma regla porque es la operación inversa: si , entonces y .
El caso que sorprende, , es la lógica de deshacer: el primer signo − significa "deshaz la maniobra", y la maniobra ya era un descenso; deshacer un descenso es subir. Dos inversiones se cancelan.
Casos especiales: multiplicar por 0 da siempre 0 (cero etapas no mueven nada) y multiplicar por 1 deja el número igual.
- Multiplica (o divide) las magnitudes, sin mirar los signos.
- Mira los signos de los dos números.
- Iguales → el resultado lleva +. Distintos → lleva −.
- Escribe el resultado con su signo.
| Factores | Signo del resultado | Ejemplo |
|---|---|---|
| (+) y (+) | positivo | |
| (−) y (−) | positivo | |
| (+) y (−) | negativo | |
| (−) ÷ (+) | negativo |
Ejemplo del libro: (signos distintos) y (signos iguales). La regla es la misma para · y ÷.
El origen. La regla de los signos la escribió por primera vez Brahmagupta (India, año 628) en un tratado de astronomía: "el producto de dos deudas es una fortuna". Llegó a Occidente a través de los matemáticos árabes —al-Juarismi (s. IX) y su escuela— y los algebristas del Renacimiento europeo la difundieron, no sin resistencia: a muchos les costó siglos aceptar que (−)·(−) diera +. La justificación que usamos hoy (deshacer lo deshecho) terminó de imponerse con el álgebra moderna.
Quién lo usa hoy y para qué. Multiplicar enteros con signo es la base de cualquier cálculo con dirección y sentido:
- 🚀Física. Velocidad con sentido (+ sube, − baja) por tiempo da desplazamiento: un sumergible que baja a −2 m/min durante 8 min está en 8 · (−2) = −16 m. Misma cuenta en cohetes y satélites.
- 📉Finanzas. Cinco meses con pérdida de 20 cada uno: 5 · (−20) = −100. Y cancelar 5 deudas de 20 es (−5) · (−20) = +100: la regla de signos en el banco.
- 🖥️Computación gráfica. Para reflejar una imagen o invertir un movimiento, el procesador multiplica coordenadas por −1 millones de veces por segundo: cada espejo de un videojuego es la regla de los signos en acción.
- ➗Planificación por etapas. Repartir un total en partes iguales (turnos, dosis, pagos, descensos) es dividir enteros; el signo dice la dirección de cada parte.
Ejemplo 1 — Signos distintos:
- Magnitudes: 3 · 4 = 12.
- Signos: uno − y uno + → distintos.
- Distintos → resultado negativo.
- . Repetir 4 veces un descenso de 3 baja 12.
Ejemplo 2 — Signos iguales:
- Magnitudes: 6 · 5 = 30.
- Signos: los dos − → iguales.
- Iguales → resultado positivo: deshacer 6 veces un descenso de 5 te SUBE 30.
- .
Ejemplo 3 — División con signos distintos:
- Magnitudes: 12 ÷ 4 = 3.
- Signos: − y + → distintos.
- Distintos → resultado negativo.
- . Un descenso de 12 repartido en 4 etapas: −3 cada una.
Ejemplo 4 — División con signos iguales:
- Magnitudes: 20 ÷ 5 = 4.
- Signos: los dos − → iguales.
- Iguales → resultado positivo.
- . Comprobación: . ✓
Ejemplo 5 — Programar el descenso a la estación −24
El sumergible debe llegar a −24 m en 4 etapas iguales. ¿Qué cambio por etapa hay que programar?
- Reparto el total entre las etapas: .
- Magnitudes: 24 ÷ 4 = 6.
- Signos distintos (− y +) → resultado negativo: .
- Cada etapa debe ser de −6 m. Comprobación: . ✓
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Potenciación y radicación de enteros
Potenciación y radicación de enteros
La Expedición Abismo necesita que el sonar del sumergible alcance niveles cada vez más profundos. Para lograrlo, el equipo instala una cadena de repetidores: cada repetidor toma la señal que le llega y la multiplica por la misma base. Un repetidor de base −2 manda el eco de −2 m a +4 m, luego a −8 m, luego a +16 m… El nivel final con n repetidores es : la potenciación.
Y a veces control pregunta al revés: "el eco terminó en −27 m con 3 repetidores: ¿qué base usamos?". Esa pregunta inversa es la radicación: buscar el número que, repetido n veces como factor, produce el resultado.
Hay un detalle que decide todo el comportamiento del eco: el signo. Con base negativa, el eco va alternando entre profundidad y altura; si el número de repetidores es par, termina arriba (positivo); si es impar, termina abajo (negativo). Por eso "no suena" en los enteros, pero sí.
La Cadena del Sonar
Lo que la cadena te estaba mostrando
La potenciación es una multiplicación repetida. En , la base b se multiplica por sí misma tantas veces como diga el exponente n: . Cada repetidor de la cadena es un factor más.
La radicación es la pregunta inversa. significa exactamente que : ¿qué base, repetida n veces, produce c? La de índice 2 es la raíz cuadrada (el índice se omite); la de índice 3, la raíz cúbica.
El signo lo decide la paridad. Con base negativa, los signos − se cancelan de a pares: exponente par → resultado positivo; exponente impar → resultado negativo. Consecuencia directa: ningún entero al cuadrado da negativo, así que no existe en los enteros; pero un entero negativo al cubo sí da negativo, así que sí existe.
- Potencia: escribe el desarrollo (la base como factor, n veces) y multiplica de izquierda a derecha.
- Signo: antícipalo antes de multiplicar: base negativa con exponente par → +; con exponente impar → −. Base positiva → siempre +.
- Raíz: busca el entero que, elevado al índice, da el radicando, y comprueba elevándolo.
- Verifica la existencia: raíz de índice par de un negativo → no existe en los enteros; de índice impar → sí existe, y conserva el signo del radicando.
| Base | Exponente par | Exponente impar |
|---|---|---|
| Positiva (b > 0) | + ej.: | + ej.: |
| Negativa (b < 0) | + ej.: | − ej.: |
Ejemplos del libro: · porque · porque .
El origen. Los escribas de Babilonia ya manejaban cuadrados y cubos en tablillas de arcilla hace casi 4,000 años, y Euclides trabajó las potencias en la Grecia clásica. La notación moderna con el exponente arriba —escribir x³ en vez de "x·x·x"— la fijó René Descartes en 1637. El símbolo de la raíz, √, lo introdujo el alemán Christoph Rudolff en 1525: se cree que es una "r" estilizada, de radix (raíz, en latín).
Quién lo usa hoy y para qué. Las potencias describen todo lo que crece o se repite multiplicándose:
- 📈Crecimiento exponencial. El interés compuesto de un banco, la propagación de un virus o el volumen de datos en internet crecen como potencias: cada periodo multiplica por la misma base.
- 🌋Escala Richter. Cada grado de magnitud sísmica multiplica por 10 la amplitud de la onda: un sismo de grado 7 sacude 100 veces más que uno de grado 5. Es una escala hecha de potencias.
- 📡Decibelios y sonar. La intensidad del sonido —incluido el sonar de los buques oceanográficos reales— se mide en decibelios, una escala que compara potencias de 10 para abarcar señales enormes y diminutas.
- 🔐Criptografía. Las contraseñas y compras seguras de internet dependen de elevar números gigantes a potencias gigantes: calcular la potencia es rápido, pero "deshacerla" sin la clave es prácticamente imposible.
Ejemplo 1 — Base negativa, exponente par:
- Desarrollo: (la base aparece 2 veces como factor).
- Signo: dos factores negativos se cancelan en un par → resultado positivo.
- Magnitud: .
- . Ojo: no es lo mismo que , donde el signo queda fuera del paréntesis.
Ejemplo 2 — La cadena del sonar con base −2 y 5 repetidores
¿A qué nivel termina el eco con 5 repetidores de base −2?
- Sigue la cadena nodo a nodo: , , , .
- Quinto repetidor: .
- Comprobación del signo: 5 es impar → con base negativa el resultado debía ser negativo. ✔
- El eco termina en : a 32 m de profundidad (justo la misión del simulador).
Ejemplo 3 — Base negativa, exponente impar:
- Desarrollo: .
- Primer par: . Queda un negativo sin pareja.
- .
- : exponente impar → el resultado conserva el signo − de la base.
Ejemplo 4 — Raíz cuadrada: y la ecuación
- La raíz pregunta: ¿qué número al cuadrado da 49? Como , se toma .
- Cuidado con la pregunta completa: también .
- Por eso la ecuación tiene dos soluciones enteras: y .
- Conclusión: ; pero si te piden los enteros cuyo cuadrado es 49, la respuesta es .
Ejemplo 5 — Raíces de números negativos: y
- : busco un entero cuyo cuadrado sea −16. Todo cuadrado es ≥ 0 (exponente par → +).
- Conclusión: no existe en los enteros.
- : busco un entero cuyo cubo sea −27. Pruebo . ✔
- : el índice impar sí admite radicando negativo y conserva su signo.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Responde una a una: cada respuesta se marca en verde o rojo. Necesitas 80% para aprobar. Pulsa Reintentar para barajar.