Los números enteros
Los números enteros
Una expedición científica explora una fosa oceánica con un submarino de investigación. En el centro de control hay una sola regla para describirlo todo: la superficie del mar es el 0. El dron de apoyo vuela a +40 m; el submarino desciende a −250 m. Con los números naturales (1, 2, 3…) no alcanza: necesitas números que digan también hacia qué lado del cero estás.
Esos son los números enteros: los positivos (+1, +2, +3…), el cero y los negativos (−1, −2, −3…). El signo no es un adorno: es información. +40 y −40 están igual de lejos del cero, pero en mundos opuestos: uno en el aire, otro bajo el agua.
Y hay una regla de oro que en el océano se entiende sola: más profundo = menor. Estar en −7 es estar por debajo de −4, así que −7 < −4. En el simulador vas a recorrer esta regla vertical con el submarino y comprobarlo con tus propios ojos.
Y no hace falta ir al mar: en la libreta del colmado, deber RD$30 se escribe −30; en Valle Nuevo, 5 grados bajo cero es −5 °C; y en el ascensor, el segundo sótano es −2. En cada caso hay un cero y dos lados.
La regla del mar
Un mismo tema, tres pantallas. En La regla mueves al dron, al buzo y al submarino y comparas quién está más abajo. En Situaciones traduces la vida real a enteros y los ubicas en la recta. En Retos pones a prueba lo aprendido: Sofía te explica si te equivocas.
- La regla: mueve un personaje, di cuál está más abajo y acuesta la regla para ver la recta de la escuela.
- Situaciones: convierte cada situación en un entero y ubícala en la recta.
- Retos: 10 misiones; Sofía te explica si fallas.
El signo dice hacia qué lado del cero. Más abajo es menor.
Un entero dice cuánto y hacia qué lado del cero: +40 es 40 m arriba de la superficie, −40 es 40 m abajo. Por eso el signo no es un adorno. Cada entero tiene un opuesto: el mismo número de pasos, al otro lado del cero (el opuesto de −3 es +3; el del 0 es 0). Y para ordenar: más abajo en la regla (o más a la izquierda en la recta) es menor. −7 está más hundido que −4, así que −7 < −4, aunque 7 sea mayor que 4.
- Elige el cero de la situación (nivel del mar, 0 °C, planta baja, saldo 0).
- Asigna + a un sentido y − al contrario.
- Los enteros son los negativos, el cero y los positivos.
- El opuesto de a es −a: misma distancia al cero, otro lado.
- En la recta, es mayor el que está más a la derecha.
| Caso | Regla | Ejemplo |
|---|---|---|
| positivo vs negativo | el positivo siempre es mayor | +2 > −9 |
| dos positivos | mayor el de mayor magnitud | +8 > +3 |
| dos negativos | mayor el más cercano al cero | −4 > −7 |
| con el cero | 0 supera a todo negativo | 0 > −1 |
Ejemplo del libro: ordenar −3, +5, −8, 0, +1 de menor a mayor → −8 < −3 < 0 < +1 < +5.
El origen. Los números negativos nacieron lejos de Europa. En la China antigua (hace más de 2,000 años) los comerciantes calculaban con varillas rojas y negras: unas para lo que tenían, otras para lo que debían. En la India, Brahmagupta (siglo VII) escribió las primeras reglas formales para operar con "fortunas" (positivos) y "deudas" (negativos). Europa tardó siglos en aceptarlos: hasta el siglo XVII muchos matemáticos los llamaban "números absurdos" y los descartaban de las soluciones. Hoy están en cualquier app del clima.
Quién lo usa hoy y para qué. Los enteros son el idioma estándar para todo lo que tiene dos sentidos respecto a una referencia:
- Banca. Tu saldo es un entero con signo: +120 es dinero a favor, −80 es sobregiro. Los sistemas bancarios procesan millones de estos enteros por segundo.
- Meteorología. Las temperaturas bajo cero (−5 °C) y los pronósticos del clima dependen de la recta de los enteros, con el 0 °C como frontera del hielo.
- Husos horarios. El planeta se coordina con enteros: UTC−4 (República Dominicana), UTC+9 (Japón). Aviones y servidores sincronizan así sus relojes.
- Arquitectura y ascensores. Los sótanos son pisos negativos (−1, −2, −3): el botón del ascensor es una recta de enteros en vertical, igual que tu regla del mar.
- Programación. El tipo de dato int existe en casi todos los lenguajes: los videojuegos, los GPS y los sistemas de los submarinos reales guardan posiciones y alturas como enteros con signo.
Errores típicos
Estos son los tropiezos más comunes. Ponte a prueba en el simulador.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Valor absoluto
Valor absoluto
En la Expedición Abismo hay una pregunta que control repite cada minuto: "¿a qué distancia de la superficie estás?". Para la cuerda de rescate, para la presión, para el tiempo de emergencia… da igual si el que reporta es el dron en el aire o el submarino en la fosa: lo que importa es cuántos metros lo separan del 0, no de qué lado está.
Esa distancia es el valor absoluto. El submarino en −6 está a |−6| = 6 metros de la superficie; el dron en +4, a |+4| = 4. El valor absoluto le quita el signo a la posición y deja solo la magnitud.
Ojo a la trampa clásica: −6 es menor que +4 como número (está más abajo en la regla), pero su valor absoluto es mayor (está más lejos de la superficie). Número y distancia cuentan historias distintas: −6 está más abajo que +4, pero su cuerda es más larga.
La cuerda de medir
Un mismo tema, tres pantallas. En La cuerda mueves a un personaje y mides su distancia a la superficie. En ¿Quién está más lejos? comparas a dos personajes de dos maneras: por posición y por distancia. En Retos pones a prueba lo aprendido: Sofía te explica si fallas.
- La cuerda: mueve al personaje con ▲▼, di cuánto mide la cuerda antes de verla y descubre qué puntos están a la misma distancia.
- ¿Quién está más lejos?: compara a dos personajes por posición y por distancia.
- Retos: 10 misiones; Sofía te explica si fallas.
El valor absoluto es la distancia al cero. Una distancia nunca es negativa.
|a| se lee "valor absoluto de a" y dice cuántos pasos hay de a hasta el 0, sin importar el lado. El pelícano a +4 m y el buzo a −4 m están a la misma distancia de la superficie: |+4| = |−4| = 4. Por eso dos números opuestos tienen el mismo valor absoluto, y por eso |a| nunca es negativo. Ojo: número y distancia son preguntas distintas. −8 es menor que 5 (está más abajo), pero |−8| = 8 es mayor que |5| = 5 (está más lejos).
- Ubica a en la recta.
- Cuenta los pasos (unidades) de a hasta el 0.
- Escribe esa distancia entre barras: |a|.
- El resultado es positivo o cero.
- Si piden los números a una distancia k > 0, hay dos: k y −k; si k = 0, solo el 0; si k < 0, ninguno.
- En −|a|, primero se calcula |a| y después se aplica el − de afuera.
| Expresión | Cálculo | Resultado |
|---|---|---|
| |+7| | ya es ≥ 0: son 7 pasos al cero | 7 |
| |−7| | cuenta los pasos de −7 al cero: son 7 | 7 |
| |0| | el 0 está a 0 pasos de sí mismo | 0 |
| −|−7| | primero |−7| = 7, luego el − de fuera | −7 |
Ejemplo del libro: |−8| = 8 y |+8| = 8: los opuestos comparten valor absoluto.
El origen. La idea de "magnitud sin signo" se usó durante siglos, pero el concepto formal es sorprendentemente reciente: el término valor absoluto y la notación |x| con sus dos barras se consolidaron en el siglo XIX — la notación la introdujo Karl Weierstrass en 1841, el mismo matemático que puso rigor al análisis moderno. Antes, los textos hablaban de "el número tomado absolutamente", sin símbolo propio.
Quién lo usa hoy y para qué. Cada vez que a un sistema le importa el tamaño del error y no su dirección, ahí está |x|:
- Ingeniería de tolerancias. Una pieza de 50 mm con tolerancia ±0.1 se acepta si |medida − 50| ≤ 0.1: el control de calidad es valor absoluto puro.
- Laboratorios. El error absoluto de una medición es |valor medido − valor real|: da igual si te pasaste o te quedaste corto, importa cuánto.
- GPS y navegación. Las distancias entre coordenadas se construyen con valores absolutos (y sus primos, las normas): tu mapa calcula |x| miles de veces por viaje.
- Robótica submarina real. Los ROV oceanográficos controlan la profundidad con |posición − objetivo|: si la diferencia supera el umbral, el motor corrige. Igual que tu cuerda de rescate.
Errores típicos
Estos son los tropiezos más comunes. Ponte a prueba en el simulador.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Adición y sustracción de enteros
Adición y sustracción de enteros
En la Expedición Abismo, el submarino nunca llega a su destino de un solo movimiento: ejecuta una secuencia de maniobras. "Desciende 5 m" es sumar −5; "sube 2 m" es sumar +2. La posición final es la suma del nivel inicial con todas las maniobras.
Y cuando control ordena deshacer una maniobra —"cancela ese descenso de 5 m"— el piloto no inventa nada nuevo: ejecuta la maniobra opuesta (+5). Esa es exactamente la sustracción: restar un entero es sumar su opuesto.
Las reglas de este tema caben en dos líneas: con el mismo signo, sumas las magnitudes y conservas el signo; con signos distintos, restas las magnitudes y te quedas con el signo del de mayor valor absoluto. En el simulador las verás dibujadas como flechas sobre la regla del mar.
Y en la libreta del colmado pasa lo mismo: si debías RD$30 (−30) y don Pedro te borra la deuda, restarte −30 te deja en 0: −30 − (−30) = 0.
Las maniobras
Un mismo tema, tres pantallas. En Sumar programas maniobras y predices dónde termina el submarino. En Restar ves cómo la flecha da la vuelta y calculas cuánto se movió. En Retos pones a prueba lo aprendido: Sofía te explica si te equivocas.
- Sumar: elige dónde arranca el submarino y agrega maniobras; di dónde terminará antes de verlo.
- Restar: mira cómo la flecha da la vuelta al restar, y averigua cuánto se movió el submarino entre dos puntos.
- Retos: 10 misiones; Sofía te explica si fallas.
Sumar es moverse. Restar es moverse al revés.
Cada entero es un movimiento: +5 sube 5, −3 baja 3. Sumar es hacer los movimientos uno detrás de otro. Restar un número es hacer su movimiento al revés, o sea, sumar su opuesto: 5 − (−3) = 5 + 3 = 8. En el colmado se entiende solo: si te quitan una deuda de RD$3, quedas con RD$3 más. Y un movimiento seguido del contrario te deja donde empezaste: (−4) + 4 = 0.
Debo RD$3: me quedan 5 − 3 = 2. Si don Pedro me borra esa deuda (le resto el −3), quedo con 5 − 3 + 3 = 5: quitarme una deuda es como si me dieran ese dinero.
- Si la operación es una resta, conviértela en suma del opuesto: a − b = a + (−b).
- Mismo signo: suma los valores absolutos y deja el signo.
- Distinto signo: resta los valores absolutos y deja el signo del de mayor valor absoluto.
- Con varios términos: suma todos los positivos, suma todos los negativos y resta al final.
- Un número más su opuesto da 0; sumar 0 no cambia nada.
| Caso | Qué haces | Ejemplo |
|---|---|---|
| Mismo signo | sumas magnitudes, conservas el signo | (−6) + (−4) = −10 |
| Distinto signo | restas magnitudes, signo del mayor valor absoluto | (+3) + (−5) = −2 |
| Resta | sumas el opuesto del sustraendo | 7 − 10 = 7 + (−10) = −3 |
| Varios términos | agrupa los positivos y los negativos, resta al final | (+3) − 5 + 8 − 6: positivos 11, negativos −11 → 0 |
| Opuestos | se anulan | (+7) + (−7) = 0 |
Ejemplo del libro: (−12) + (+7) = −5; y con varios términos, (+3) − 5 + 8 − 6 = 0. Sumar 0 no cambia nada: es el neutro de la adición.
El origen. Sumar cantidades "a favor" y "en contra" nació del comercio: los mercaderes de Venecia y Florencia (siglos XIII–XV) llevaban libros con haberes y deudas, y Fibonacci, en su Liber Abaci (1202), ya interpretaba un resultado negativo como una deuda. Siglos antes, Brahmagupta (India, s. VII) había escrito las primeras reglas formales para sumar y restar "fortunas" y "deudas": las mismas reglas de signos que usas en esta página.
Quién lo usa hoy y para qué. La suma de enteros es la pieza básica de cualquier sistema que acumula movimientos:
- Contabilidad. Toda empresa suma enteros a diario: ingresos (+) y gastos (−). El "balance" es, literalmente, una lista de movimientos sobre el cero.
- Gestión de energía. Una batería suma cargas (+) y consumos (−); los sistemas de un submarino real calculan así cuánta reserva queda antes de emerger.
- Control de ascensores. El controlador suma pisos subidos y bajados, con sótanos negativos, exactamente como tu regla vertical.
- Videojuegos. Los puntos de vida son una suma continua de enteros: daño recibido (−) y curación (+). El motor del juego resuelve miles de estas sumas por segundo.
Errores típicos
Estos son los tropiezos más comunes. Ponte a prueba en el simulador.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Multiplicación y división de enteros
Multiplicación y división de enteros
Para inmersiones largas, el piloto de la Expedición Abismo no programa una maniobra gigante: programa etapas idénticas. "Cuatro etapas de −3 m" es : el submarino baja 12 m. Multiplicar es repetir la misma maniobra; dividir es repartir un descenso total en etapas iguales: si hay que bajar 12 m en 4 etapas, cada una es .
¿Y la famosa regla de los signos? Es la lógica de repetir o deshacer. Repetir una subida da subida: . Repetir un descenso da descenso: . Pero deshacer (multiplicar por un negativo) invierte la maniobra: deshacer un descenso te deja arriba, y por eso .
En el simulador verás cada etapa como una flecha encadenada sobre la regla del mar: tantas flechas como etapas, todas del mismo tamaño, y el patrón te dirá cuándo la próxima sube o baja.
Las etapas
Un mismo tema, tres pantallas. En Repetir programas cuántas etapas y de cuánto; dices dónde termina el submarino antes de verlo y completas la tabla del patrón. En Repartir repartes un descenso total en etapas iguales y averiguas de cuánto es cada una. En Retos pones a prueba lo aprendido: Sofía te explica si te equivocas.
- Repetir: elige etapas y maniobra, di el total y toca «Hacer las etapas».
- Repartir: elige el total y las etapas, di cuánto es cada una y toca «Repartir».
- Retos: 10 misiones; Sofía te explica si fallas.
Multiplicar es repetir. Por un negativo, es repetir al revés.
4 · (−3) es bajar 3 metros cuatro veces: −12. Multiplicar por un número negativo es repetir la maniobra al revés: (−4) · (−3) es deshacer cuatro bajadas de 3, y deshacer bajadas es subir: +12. El patrón lo confirma: en la tabla del −2, cada vez que el primer factor baja 1, el producto sube 2; al cruzar el cero, sigue subiendo y se vuelve positivo. En corto: signos iguales dan +, signos distintos dan −. Y dividir es la pregunta al revés: ¿qué maniobra, repetida 4 veces, da −12? La respuesta es −3.
Casos especiales: multiplicar por 0 da siempre 0 (cero etapas no mueven nada) y multiplicar por 1 deja el número igual.
- Multiplica (o divide) los valores absolutos como en los naturales.
- Mira los signos: iguales → +; distintos → −.
- En la división, el divisor tiene que ser distinto de 0.
- Con varios factores: cantidad par de negativos → resultado +; cantidad impar → resultado −.
- Multiplicar por 0 da 0; multiplicar por 1 deja el número igual.
| Factores | Signo del resultado | Ejemplo |
|---|---|---|
| (+) y (+) | positivo | (+3) · (+4) = +12 |
| (−) y (−) | positivo | (−6) · (−5) = +30 |
| (+) y (−) | negativo | (+4) · (−3) = −12 |
| (−) ÷ (+) | negativo | (−12) ÷ (+4) = −3 |
Ejemplo del libro: (−3) · 4 = −12 (signos distintos) y (−12) ÷ (−4) = +3 (signos iguales). La regla es la misma para · y ÷; y con varios factores, cuenta cuántos negativos hay.
El origen. La regla de los signos la escribió por primera vez Brahmagupta (India, año 628) en un tratado de astronomía: "el producto de dos deudas es una fortuna". Llegó a Occidente a través de los matemáticos árabes —al-Juarismi (s. IX) y su escuela— y los algebristas del Renacimiento europeo la difundieron, no sin resistencia: a muchos les costó siglos aceptar que (−)·(−) diera +. La justificación que usamos hoy (deshacer lo deshecho) terminó de imponerse con el álgebra moderna.
Quién lo usa hoy y para qué. Multiplicar enteros con signo es la base de cualquier cálculo con dirección y sentido:
- Física. Velocidad con sentido (+ sube, − baja) por tiempo da desplazamiento: un submarino que baja a −2 m/min durante 8 min está en 8 · (−2) = −16 m. Misma cuenta en cohetes y satélites.
- Finanzas. Cinco meses con pérdida de 20 cada uno: 5 · (−20) = −100. Y cancelar 5 deudas de 20 es (−5) · (−20) = +100: la regla de signos en el banco.
- Computación gráfica. Para reflejar una imagen o invertir un movimiento, el procesador multiplica coordenadas por −1 millones de veces por segundo: cada espejo de un videojuego es la regla de los signos en acción.
- Planificación por etapas. Repartir un total en partes iguales (turnos, dosis, pagos, descensos) es dividir enteros; el signo dice la dirección de cada parte.
Errores típicos
Estos son los tropiezos más comunes. Ponte a prueba en el simulador.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Potenciación y radicación de enteros
Potenciación y radicación de enteros
La Expedición Abismo necesita que el sonar del submarino alcance niveles cada vez más profundos. Para lograrlo, el equipo instala una cadena de repetidores: cada repetidor toma la señal que le llega y la multiplica por la misma base. Un repetidor de base −2 manda el eco de −2 m a +4 m, luego a −8 m, luego a +16 m… El nivel final con n repetidores es : la potenciación.
Y a veces control pregunta al revés: "el eco terminó en −27 m con 3 repetidores: ¿qué base usamos?". Esa pregunta inversa es la radicación: buscar el número que, repetido n veces como factor, produce el resultado.
Hay un detalle que decide todo el comportamiento del eco: el signo. Con base negativa, el eco va alternando entre profundidad y altura; si el número de repetidores es par, termina arriba (positivo); si es impar, termina abajo (negativo). Por eso "no suena" en los enteros, pero sí.
La cadena del eco
Un mismo tema, tres pantallas. En Potencias eliges la base y el exponente y dices el signo y el resultado antes de ver cómo se emparejan los menos. En Raíces le preguntas al detector qué número elevado da el resultado. En Retos pones a prueba lo aprendido: Sofía te explica si fallas.
- Potencias: elige la base y el exponente, pon o quita el paréntesis, y di el signo y el resultado antes de ver cómo se emparejan los menos.
- Raíces: pregúntale al detector qué número elevado da el resultado; di primero si existe.
- Retos: 10 misiones; Sofía te explica si fallas.
Potencia es repetir. Los menos se emparejan.
(−2)⁴ significa multiplicar el −2 cuatro veces: (−2) · (−2) · (−2) · (−2). Cada pareja de signos menos da +: con exponente par todos tienen pareja y el resultado es positivo (16); con exponente impar sobra uno y es negativo: (−2)³ = −8. El paréntesis decide si el menos entra en la repetición: (−2)⁴ = 16, pero −2⁴ = −(2 · 2 · 2 · 2) = −16. La raíz es la pregunta al revés: ∛(−8) pregunta qué número repetido 3 veces da −8: −2. Y √(−9) no existe en los enteros, porque cualquier entero al cuadrado da positivo o cero.
- Potencia: escribe el desarrollo (la base como factor, n veces) y multiplica de izquierda a derecha.
- Signo: antícipalo antes de multiplicar: base negativa con exponente par → +; con exponente impar → −. Base positiva → siempre +.
- Raíz: busca el entero que, elevado al índice, da el radicando, y comprueba elevándolo.
- Verifica la existencia: raíz de índice par de un negativo → no existe en los enteros; de índice impar → sí existe, y conserva el signo del radicando.
| Base | Exponente par | Exponente impar |
|---|---|---|
| Positiva (b > 0) | + ej.: | + ej.: |
| Negativa (b < 0) | + ej.: | − ej.: |
Ejemplos del libro: · porque · porque .
El origen. Los escribas de Babilonia ya manejaban cuadrados y cubos en tablillas de arcilla hace casi 4,000 años, y Euclides trabajó las potencias en la Grecia clásica. La notación moderna con el exponente arriba —escribir x³ en vez de "x·x·x"— la fijó René Descartes en 1637. El símbolo de la raíz, √, lo introdujo el alemán Christoph Rudolff en 1525: se cree que es una "r" estilizada, de radix (raíz, en latín).
Quién lo usa hoy y para qué. Las potencias describen todo lo que crece o se repite multiplicándose:
- Crecimiento exponencial. El interés compuesto de un banco, la propagación de un virus o el volumen de datos en internet crecen como potencias: cada periodo multiplica por la misma base.
- Escala Richter. Cada grado de magnitud sísmica multiplica por 10 la amplitud de la onda: un sismo de grado 7 sacude 100 veces más que uno de grado 5. Es una escala hecha de potencias.
- Decibelios y sonar. La intensidad del sonido —incluido el sonar de los buques oceanográficos reales— se mide en decibelios, una escala que compara potencias de 10 para abarcar señales enormes y diminutas.
- Criptografía. Las contraseñas y compras seguras de internet dependen de elevar números gigantes a potencias gigantes: calcular la potencia es rápido, pero "deshacerla" sin la clave es prácticamente imposible.
Errores típicos
Estos son los tropiezos más comunes. Ponte a prueba en el simulador.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Responde una a una: cada respuesta se marca en verde o rojo. Necesitas 80% para aprobar. Pulsa Reintentar para barajar.