Triángulos y sus elementos
El triángulo tiene 3 lados, 3 vértices y 3 ángulos, y es la única figura rígida.
Con las medidas de sus lados fijas, no hay manera de deformarlo: por eso sostiene puentes y techos. Pero no cualquier trío de lados arma un triángulo: el lado más largo debe ser menor que la suma de los otros dos. Si un listón es muy largo, ¡el marco no cierra!
La cercha de prueba
Dos marcos de listones en el banco de pruebas: uno cuadrado y uno triangular. Una mano hidráulica los empuja: el cuadrado se acuesta en rombo, el triángulo ni se inmuta. Al lado, una prueba de cierre arma un triángulo con tres largos a elegir.
- Mueve el deslizador de fuerza y observa: el marco cuadrado se deforma, el triangular resiste.
- Escribe tres largos de listón y pulsa Probar cierre: el marco cierra solo si el lado más largo es menor que la suma de los otros dos.
- Mira las chapas de obra: rotulan los lados, los vértices y los ángulos del triángulo.
- Reto: prueba el trío 3, 5, 9. ¿Cierra? Compruébalo tú mismo.
🏆 El Reto: el trío del ingeniero
El ingeniero manda un trío de listones: di si cierra triángulo (sí / no). La prueba de cierre queda bloqueada: solo Comprobar valida.
Un triángulo es un polígono de tres lados. Sus elementos son:
- 3 lados: los tres segmentos que lo forman.
- 3 vértices: los puntos donde se juntan dos lados (se nombran con letras: A, B, C).
- 3 ángulos interiores: las aberturas en cada vértice.
La desigualdad triangular dice cuándo tres lados forman triángulo: cada lado debe ser menor que la suma de los otros dos.
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En el puente peatonal verás cerchas triangulares de hierro: nunca cuadrados, porque un cuadrado se "acuesta" con el peso. También hay triángulos en los techos de zinc, en las torres de luz y hasta en el caballete de un pintor: donde se necesita firmeza, aparece el triángulo.
¿Forman triángulo tres listones de 3, 5 y 9 cm?
¿Forman triángulo tres listones de 4, 6 y 8 cm?
Lee con atención y elige la respuesta correcta. Si te equivocas, intenta de nuevo: debes acertar para ver los pasos.
¿Listo para el reto?
Tu nota final del tema es el promedio entre el quiz teórico y el práctico. Necesitas 80% para superar el tema.
Clasificación de los triángulos
Todo triángulo carga DOS apellidos: uno por sus lados y otro por sus ángulos.
Por sus lados: equilátero (3 iguales), isósceles (2 iguales), escaleno (todos distintos). Por sus ángulos: acutángulo (3 ángulos agudos), rectángulo (un ángulo recto de 90°), obtusángulo (un ángulo obtuso, mayor de 90°).
El estante de cerchas
Las cerchas del puente se fabrican en serie. Tres barras ajustables forman cada una y dos chapas anuncian su doble apellido en vivo. Estira los lados y mira cómo cambian el apellido de lados y el de ángulos.
- Ajusta los tres lados con los deslizadores y mira la cercha en el banco.
- Lee las dos chapas: el apellido por lados (equilátero / isósceles / escaleno) y por ángulos (acutángulo / rectángulo / obtusángulo).
- Pulsa los botones de ejemplo para ver cada especie de cercha.
- Reto del banco: intenta fabricar un equilátero rectángulo y descubre por qué no existe.
🏆 El Reto: el pedido de la obra
El capataz pide una cercha concreta: di sus dos apellidos (por lados y por ángulos). Las chapas se apagan: solo Comprobar mide.
Por sus lados:
- Equilátero: los tres lados iguales (y sus tres ángulos miden 60°).
- Isósceles: dos lados iguales (los ángulos de la base también son iguales).
- Escaleno: los tres lados distintos.
Por sus ángulos:
- Acutángulo: sus tres ángulos son agudos (menores de 90°).
- Rectángulo: tiene un ángulo recto (exactamente 90°).
- Obtusángulo: tiene un ángulo obtuso (mayor de 90°).
Un mismo triángulo lleva los dos apellidos: por ejemplo, el de lados 3, 4 y 5 es escaleno rectángulo.
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La señal de peligro triangular en la obra, el techo de dos aguas de una casa, la escuadra del carpintero (que es un triángulo rectángulo) o un pedazo de pizza (casi un triángulo isósceles): todos cargan sus dos apellidos. Aprender a clasificarlos es como ponerle nombre y apellido a cada figura.
Clasifica por sus lados un triángulo de lados 5, 5 y 8 cm.
Un triángulo tiene ángulos de 40°, 50° y 90°. ¿Cómo es por sus ángulos?
Lee con atención y elige la respuesta correcta. Si te equivocas, intenta de nuevo: debes acertar para ver los pasos.
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Medida de los ángulos interiores
Los tres ángulos interiores de cualquier triángulo suman exactamente 180°.
Conociendo dos ángulos, el tercero se calcula sin medirlo:
Por ejemplo, si dos ángulos miden 62° y 49°, el tercero es 180° − 62° − 49° = 69°.
Las esquinas que viajan
Una cercha de cartón en el banco: sus tres esquinas se arrancan y viajan a una regla de 180°, donde encajan exactas formando el ángulo llano. Deforma la cercha a gusto: ¡siempre suman 180°!
- Mueve el deslizador para deformar la cercha y mira cómo cambian sus tres ángulos.
- Pulsa Arrancar esquinas: las tres viajan a la regla de 180° y encajan exactas.
- Juega al detective: con dos ángulos dados, calcula el tercero ANTES de arrancar.
- Reto: en una cercha rectángula basta restar de 90° el ángulo agudo conocido para hallar el otro.
🏆 El Reto: el tercer ángulo
El plano da dos ángulos de una cercha. Calcula el tercero. El experimento queda guardado: solo Comprobar valida.
Si arrancas las tres esquinas de cualquier triángulo de cartón y las juntas por sus vértices, forman un ángulo llano (una línea recta de 180°). Por eso:
Esto sirve para encontrar un ángulo que no conocemos: si dos ángulos miden 70° y 60°, el tercero es 180° − 70° − 60° = 50°. En un triángulo rectángulo, como un ángulo ya vale 90°, los otros dos suman 90°.
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El soldador del puente no mide el tercer ángulo de cada cercha: lo deduce. Si dos ángulos del plano están marcados, el tercero sale solo restando de 180°. Así ahorra tiempo y nunca se equivoca: la matemática trabaja por él.
Una cercha tiene ángulos de 62° y 49°. ¿Cuánto mide el tercero?
Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 90° y otro de 35°. ¿Cuánto mide el tercero?
Lee con atención y elige la respuesta correcta. Si te equivocas, intenta de nuevo: debes acertar para ver los pasos.
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Congruencia de triángulos
Dos triángulos son congruentes si tienen la MISMA forma y el MISMO tamaño.
Sus lados y ángulos coinciden uno a uno. Aunque uno esté girado o volteado, al superponerlos calzan exactos. Si un solo lado cambia de medida, ya no son congruentes.
El verificador de piezas
Las cerchas llegan en serie y deben ser idénticas a la pieza patrón. El verificador las levanta, las gira, las voltea y las deja caer sobre el patrón: si calzan punto por punto, sello verde CONGRUENTE; si algo sobresale, las puntas delatoras se encienden.
- Mira el patrón a la izquierda y la pieza de prueba a la derecha, con sus medidas.
- Pulsa Superponer: la pieza se gira y se deja caer sobre el patrón.
- Si calza exacto, sale el sello verde; si sobresale, se encienden las puntas que no calzan.
- Usa Otra pieza para ver gemelas giradas, volteadas y una con un lado más largo.
🏆 El Reto: control final
La pieza de prueba y el patrón tienen sus medidas. Di si son congruentes (sí / no). El superponedor queda bloqueado: solo medidas y Comprobar.
Dos triángulos son congruentes (se escribe ≅) cuando, al ponerlos uno sobre el otro, calzan perfectamente. Esto pasa cuando:
- Sus tres lados son iguales uno a uno.
- Y sus tres ángulos también coinciden.
Girar o voltear una pieza no daña la congruencia: sigue teniendo las mismas medidas. Pero si un lado mide diferente, aunque "se parezcan", ya NO son congruentes.
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En la fábrica del puente, todas las cerchas deben ser idénticas: si una es más larga, no encaja en la estructura. Igual pasa con las baldosas del piso, las piezas de un rompecabezas o dos llaves del mismo candado: para que sirvan, deben ser congruentes con el modelo.
El patrón mide 3, 4 y 5 cm. La pieza mide 5, 3 y 4 cm (girada). ¿Son congruentes?
El patrón mide 4, 5 y 6 cm. La pieza mide 4, 5 y 7 cm. ¿Son congruentes?
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Semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes si tienen la misma forma aunque distinto tamaño.
Sus ángulos son iguales y sus lados son proporcionales: todos multiplicados por el mismo número (el factor de escala). La maqueta y el puente real son semejantes.
La maqueta del puente
Sobre el banco, la maqueta junto al plano del puente real: cada cercha de la maqueta tiene su gemela gigante. Al medir lados correspondientes, las razones se escriben en una columna y todas dan lo mismo: el factor de escala brilla.
- Mueve el deslizador de escala y mira: el triángulo crece o se achica, pero sus ángulos no cambian.
- Compara la maqueta (chica) con el puente real (grande): misma forma, distinto tamaño.
- Lee la columna de razones: cada lado real dividido entre su gemelo de la maqueta da siempre el mismo factor.
- Reto: usa la semejanza para hallar una medida del puente sin medirla directamente.
🏆 El Reto: la barra del puente real
El inspector da una barra de la maqueta y el factor de escala. Calcula cuánto mide la barra en el puente real. La columna de razones se apaga: solo Comprobar.
Dos triángulos son semejantes (se escribe ~) cuando tienen la misma forma pero pueden tener distinto tamaño. Esto pasa cuando:
- Sus ángulos son iguales uno a uno.
- Sus lados son proporcionales: cada lado del grande es el del chico multiplicado por el mismo número (el factor de escala).
Para hallar el factor: divides un lado grande entre su lado pequeño correspondiente. Si la maqueta mide 3 cm donde el puente mide 30 cm, el factor es 30 ÷ 3 = 10. Luego, cualquier barra de la maqueta multiplicada por 10 da la barra real.
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Un mapa de la República Dominicana es semejante al país real: misma forma, mucho más chico. Una maqueta de la obra, una foto ampliada o el plano del ingeniero usan la semejanza. Por eso los ingenieros miden en la maqueta lo que no alcanzan a medir en el puente: multiplican por la escala.
En la maqueta una cercha mide 3 cm; en el puente real mide 30 cm. ¿Cuál es el factor?
Si el factor es 10 y la barra superior de la maqueta mide 4 cm, ¿cuánto mide en el puente real?
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