Razones
Una razón compara dos cantidades por cociente: la receta "2 tazas de chinola por 3 de leche" es la razón 2:3.
Una razón no dice cuánto hay en total, sino cómo se relacionan las partes. Se escribe 2:3 (se lee "2 a 3") o como fracción 2/3. ¡Ojo con el orden! La razón 2:3 no es lo mismo que 3:2.
La receta de la batida
La licuadora recibe tazas de chinola (fruta) y de leche que se apilan como barras de dos colores. La razón se escribe sola (2:3). Un probador de sabor dictamina: misma razón, mismo sabor, aunque cambien las cantidades.
- Cambia las tazas de chinola y las tazas de leche con los botones.
- Mira cómo se escribe sola la razón en forma 2:3 y como fracción 2/3.
- Pulsa Probar sabor: 2:3 sabe igual que 4:6 (¡el doble de todo!), pero distinto que 3:2 (el orden importa).
- Prueba el caso del doble para ver dos recetas que saben igual aunque tengan cantidades distintas.
🏆 El Reto: el pedido grande
El pedido grande exige conservar el sabor de la receta 2:3. Completa la tabla: ¿cuánta leche por cada cantidad de chinola? El probador está en pausa: solo Comprobar valida.
Una razón entre dos cantidades es su comparación por cociente (por división). Si una receta lleva 2 tazas de chinola y 3 de leche, la razón de chinola a leche es:
Los dos números de una razón se llaman términos: el primero es el antecedente y el segundo el consecuente. Dos razones que se obtienen multiplicando (o dividiendo) ambos términos por el mismo número valen lo mismo:
El orden importa: 2:3 (más leche que fruta) no es 3:2 (más fruta que leche).
Lo ves todos los días en RD
El frío de morir soñando lleva leche y jugo de naranja en cierta razón; las habichuelas con dulce llevan leche y coco en su proporción. Cuando dices "en mi salón hay 2 niñas por cada 3 niños", estás usando una razón. Si dijeras "3 niñas por cada 2 niños", ¡sería un salón distinto!
En el puesto hay 6 vasos de lechosa y 4 de chinola. ¿Cuál es la razón de lechosa a chinola, ya simplificada?
La receta es 2 de chinola por 3 de leche. Para 8 tazas de chinola, ¿cuántas de leche?
Lee con atención y elige la respuesta correcta. Si te equivocas, intenta de nuevo: debes acertar para ver los pasos.
¿Listo para el reto?
Tu nota final del tema es el promedio entre el quiz teórico y el práctico. Necesitas 80% para superar el tema.
Proporciones
Una proporción es la igualdad de dos razones: 2/3 = 4/6.
Si tres de los cuatro valores se conocen, el cuarto se puede despejar. La prueba reina de una proporción es que sus productos cruzados son iguales:
Las dos jarras gemelas
Dos jarras con recetas escritas como razones se enfrentan: ¿saben igual? Los productos cruzados se dibujan como aspas que se calculan a la vista. Si las aspas empatan, las jarras brillan en proporción.
- Mira las dos razones enfrentadas (a/b y c/d) en el tablero.
- Pulsa Cruzar aspas: se calculan a × d y b × c.
- Si los dos productos empatan, ¡es una proporción y las jarras brillan!
- Usa Otro par para probar pares que sí y pares que no forman proporción.
🏆 El Reto: el término que falta
El profesor pide hallar el término que falta en una proporción del puesto. Las aspas no se cruzan solas: solo Comprobar las calcula.
Una proporción es la igualdad de dos razones: a : b = c : d, que también se escribe a/b = c/d. Se lee "a es a b como c es a d".
La regla de oro es la del producto cruzado: una igualdad de razones es proporción solo si el producto en aspa coincide:
Si falta un término, lo despejamos. Por ejemplo, si 2 tazas rinden 5 vasos, ¿cuántas tazas para 20 vasos? Planteo 2/5 = x/20, cruzo: 5 × x = 2 × 20 = 40, así que x = 40 ÷ 5 = 8 tazas.
Lo ves todos los días en RD
Cuando en el colmado "3 panes cuestan RD$ 30" y quieres saber cuánto cuestan 5 panes, usas una proporción. La regla de tres que ves en clase es justo esto: dos razones que deben valer lo mismo, y el cruce de aspas te da el dato que falta.
¿Forman proporción 3/4 y 9/12?
Si 2 tazas de pulpa rinden 5 vasos de batida, ¿cuántas tazas para 20 vasos?
Lee con atención y elige la respuesta correcta. Si te equivocas, intenta de nuevo: debes acertar para ver los pasos.
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Propiedades de la proporción
En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios.
En a : b = c : d, los extremos son a y d (los de afuera) y los medios son b y c (los de adentro). Por eso siempre podemos despejar el término que falta:
La balanza de aspas
La proporción se monta en una balanza de dos platos: los extremos en un lado, los medios en el otro. Cada producto se ve como pesas que deben empatar. Si mueves un término, la balanza se inclina y muestra cuánto debe valer para volver al equilibrio.
- Mira la proporción montada en la balanza: extremos a la izquierda, medios a la derecha.
- Pulsa Pesar los dos lados: ves extremos (a×d) contra medios (b×c).
- Si empatan, la balanza queda derecha; descubre que las cuatro "recetas de despeje" son la misma regla del aspa.
- Usa Otra proporción para probar con números nuevos.
🏆 El Reto: despejar el hueco
Despeja el término que falta en la proporción del negocio (el hueco aparece en un extremo o en un medio). La balanza está congelada: solo Comprobar pesa los lados.
La propiedad fundamental de las proporciones dice: producto de extremos = producto de medios.
Como esa igualdad siempre se cumple, podemos despejar cualquiera de los cuatro términos:
- Falta un extremo (por ejemplo a): a = (b × c) ÷ d.
- Falta un medio (por ejemplo c): c = (a × d) ÷ b.
Ejemplo: en x : 4 = 9 : 6, x es un extremo, así que x = (4 × 9) ÷ 6 = 36 ÷ 6 = 6.
Lo ves todos los días en RD
Cuando una vendedora ajusta una receta o cuando calculas cuánto rinde un galón de pintura para un cuarto más grande, despejas un término de una proporción. La balanza del aspa es la misma cuenta que hace la cajera del colmado para sacar el precio que no está en la lista.
Despeja x en x : 4 = 9 : 6.
Despeja x en 8 : x = 12 : 9.
Lee con atención y elige la respuesta correcta. Si te equivocas, intenta de nuevo: debes acertar para ver los pasos.
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Porcentajes
El porcentaje es una razón con denominador 100: 25% significa 25 de cada 100.
Por eso 25% = 25/100 = 0.25. Para calcular el p% de una cantidad se multiplica por p y se divide entre 100 (o se usa el decimal):
La pizarra de ofertas
El puesto lanza ofertas: "20% de descuento en la batida de lechosa". Una barra de 100 cuadritos representa el total; los cuadritos del porcentaje se encienden, junto a las tres escrituras hermanas: 20%, 20/100 y 0.20.
- Cambia el porcentaje con los botones y mira cuántos cuadritos de 100 se encienden.
- Escribe el precio de la batida y pulsa Calcular descuento.
- Lee las tres escrituras hermanas: porcentaje, fracción /100 y decimal.
- Usa los atajos 50% (la mitad), 25% (la cuarta parte) y 10% (la décima parte).
🏆 El Reto: día de feria
Aplica el descuento del cartel a un precio (¿cuánto se rebaja en RD$?) y di qué porcentaje del total de vasos ya se vendió. La barra está apagada: solo Comprobar valida.
Un porcentaje es una razón cuyo segundo término es 100. p% significa "p de cada 100", o sea p/100. Las tres escrituras son hermanas:
Para hallar el p% de una cantidad C:
Para saber qué porcentaje es una parte de un total, se hace al revés: parte ÷ total × 100. Por ejemplo, 28 de 50 vasos son 28 ÷ 50 × 100 = 56%.
Lo ves todos los días en RD
En las tiendas ves carteles de "30% de descuento" y en la factura el ITBIS del 18%. Cuando una blusa de RD$ 800 tiene 30% off, te rebajan 800 × 30 ÷ 100 = RD$ 240 y pagas RD$ 560. Saber porcentajes es saber cuánto pagas de verdad.
La batida cuesta RD$ 60 y hay 20% de descuento. ¿Cuánto rebajan y cuánto se paga?
El club vendió 28 de los 50 vasos del día. ¿Qué porcentaje vendió?
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Tasa de interés
El interés es lo que el dinero guardado gana por período: una tasa del 5% anual da RD$ 5 por cada RD$ 100 al año.
El interés es un porcentaje aplicado al dinero con el tiempo. Para un año:
Lo que ganas (el interés) no es lo mismo que el total: el total = capital + interés.
La alcancía del club
Las ganancias de las batidas entran a la libreta del club, que el banquito escolar premia con una tasa anual. La barra del ahorro crece con el capital y, al cumplirse el año, el interés cae como monedas con su cálculo visible (capital × tasa ÷ 100).
- Escribe el capital ahorrado y elige la tasa del banquito.
- Pulsa Pasar un año: caen las monedas del interés con su cuenta.
- Fíjate: el interés (lo ganado) es distinto del total (capital + interés).
- Prueba distintas tasas (3%, 5%, 10%) para comprobar que más capital y mejor tasa producen más interés.
🏆 El Reto: la decisión del club
Con el capital ahorrado, calcula el interés que paga el banquito en un año y cuánto quedará en total. La lluvia de monedas no corre sola: solo Comprobar valida.
La tasa de interés es el porcentaje que el dinero gana (si lo ahorras) o cuesta (si lo prestan) por cada período de tiempo. El dinero que pones se llama capital.
Para un año, el interés simple es:
Y el dinero total al final del año es el capital más lo ganado:
Ejemplo: RD$ 2,000 al 5% anual ganan 2,000 × 5 ÷ 100 = RD$ 100 de interés, y el total queda en 2,000 + 100 = RD$ 2,100.
Lo ves todos los días en RD
Cuando una persona guarda dinero en una cooperativa o en un banco, le pagan interés cada año. Cuando alguien saca un préstamo para una moto, paga interés. Entender la tasa te ayuda a elegir dónde ahorrar y a no aceptar préstamos demasiado caros.
El club ahorró RD$ 2,000 al 5% anual. ¿Cuánto interés gana en un año?
Dos banquitos: uno paga 3% y otro 5% sobre RD$ 2,000. ¿Cuál conviene y cuánto queda en total con el mejor?
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